TDM - test 5- Problem 2

Problem 2

Dans le triangle ABC, O et I sont les centres des cercles circonscrit et inscrit respectivement.On note X la symetrique de I par rapport a O. Soit A_{1} la projection orthogonale de X sur BC. De maniere analogue on dﬁnit B_{1} et C_{1} . prouver que AA_{1} ,BB_{1} et CC_{1} sont concourantes.

Auteur : MohE

Ma Solution :
J'ai des problèmes avec Geogebra alors il est préférable de faire une figure pour mieux suivre dessus.
Sans nuire à la généralité du problème supposons que $TDM - test 5- Problem 2 A19797fa9116c4ffb0d7d3349505bedcce5f4d46$ se trouve à l'intérieur de $TDM - test 5- Problem 2 D820d68eec72c69a741f1182ddf7bd8ac280546e$ .
Par le théorème de CEVA il suffit de montrer donc que : $TDM - test 5- Problem 2 F017e847143808fd1d9126cd5cdc48cf4cd1178a$ .=> (*)

Maintenant soient $TDM - test 5- Problem 2 831ee3bcd8926cdd97ad1323e0b3dfbbb3566f9b$ et $TDM - test 5- Problem 2 E6d583152a344719edb9b0763a6f106a651baa09$ les milieux respectifs de $TDM - test 5- Problem 2 9995977ff1927fcee8ade1fd8d5cc873c5427113$ et $TDM - test 5- Problem 2 Aca751fc6f7137257040583fb911965523ac57b5$ , et $TDM - test 5- Problem 2 C10adcbafeae6d28b7793664dab7ff34939c0b24$ les points d'intersection du cercle $TDM - test 5- Problem 2 67698bfdd86988abacda876053d2a023416f403a$ inscrit avec les côtés $TDM - test 5- Problem 2 B027b2565d655e11e9c1a84df64cd66190af7f34$ .
On peut aisément remarquer que les trois trapézoïdes $TDM - test 5- Problem 2 2bea7da9d6f0796081c60be598ea2fee5df98a71$ ont deux angles droits, et ainsi on obtient directement : $TDM - test 5- Problem 2 422be88f8dcdf904ab931fce7fe2d375d7500062$ , $TDM - test 5- Problem 2 F489aa58479b16b2e66978c6916531bad5c2b76d$ et $TDM - test 5- Problem 2 D82196dacb010f87464a8587508209905061a24c$ .

Ainsi (*) devient équivalente à : $TDM - test 5- Problem 2 402ff6cc91fa890987fe790ce0ff0b663ea99eed$ .
Mais puisque :
$TDM - test 5- Problem 2 Ca20bed2b68c73ff23f859d22766329d98c2c807$
$TDM - test 5- Problem 2 4c9f10161d48da951b4271441dd324e0a5bf3e93$
$TDM - test 5- Problem 2 37a44339399d70adf66e44ab2ac16ba6fdf541c5$ .
On obtient directement le résultat voulu.

Mehdi.O a écrit:: Ma Solution :
J'ai des problèmes avec Geogebra alors il est préférable de faire une figure pour mieux suivre dessus.
Sans nuire à la généralité du problème supposons que $TDM - test 5- Problem 2 A19797fa9116c4ffb0d7d3349505bedcce5f4d46$ se trouve à l'intérieur de $TDM - test 5- Problem 2 D820d68eec72c69a741f1182ddf7bd8ac280546e$ .
Par le théorème de CEVA il suffit de montrer donc que : $TDM - test 5- Problem 2 F017e847143808fd1d9126cd5cdc48cf4cd1178a$ .=> (*)

Maintenant soient $TDM - test 5- Problem 2 831ee3bcd8926cdd97ad1323e0b3dfbbb3566f9b$ et $TDM - test 5- Problem 2 E6d583152a344719edb9b0763a6f106a651baa09$ les milieux respectifs de $TDM - test 5- Problem 2 9995977ff1927fcee8ade1fd8d5cc873c5427113$ et $TDM - test 5- Problem 2 Aca751fc6f7137257040583fb911965523ac57b5$ , et $TDM - test 5- Problem 2 C10adcbafeae6d28b7793664dab7ff34939c0b24$ les points d'intersection du cercle $TDM - test 5- Problem 2 67698bfdd86988abacda876053d2a023416f403a$ inscrit avec les côtés $TDM - test 5- Problem 2 B027b2565d655e11e9c1a84df64cd66190af7f34$ .
On peut aisément remarquer que les trois trapézoïdes $TDM - test 5- Problem 2 2bea7da9d6f0796081c60be598ea2fee5df98a71$ ont deux angles droits, et ainsi on obtient directement : $TDM - test 5- Problem 2 422be88f8dcdf904ab931fce7fe2d375d7500062$ , $TDM - test 5- Problem 2 F489aa58479b16b2e66978c6916531bad5c2b76d$ et $TDM - test 5- Problem 2 D82196dacb010f87464a8587508209905061a24c$ .

Ainsi (*) devient équivalente à : $TDM - test 5- Problem 2 402ff6cc91fa890987fe790ce0ff0b663ea99eed$ .
Mais puisque :
$TDM - test 5- Problem 2 Ca20bed2b68c73ff23f859d22766329d98c2c807$
$TDM - test 5- Problem 2 4c9f10161d48da951b4271441dd324e0a5bf3e93$
$TDM - test 5- Problem 2 37a44339399d70adf66e44ab2ac16ba6fdf541c5$ .
On obtient directement le résultat voulu.

Salut,

Désolé pour ma question, mais je comprend pas le passage signalé en rouge ?

ali-mes a écrit:

Mehdi.O a écrit:: Ma Solution :
J'ai des problèmes avec Geogebra alors il est préférable de faire une figure pour mieux suivre dessus.
Sans nuire à la généralité du problème supposons que $TDM - test 5- Problem 2 A19797fa9116c4ffb0d7d3349505bedcce5f4d46$ se trouve à l'intérieur de $TDM - test 5- Problem 2 D820d68eec72c69a741f1182ddf7bd8ac280546e$ .
Par le théorème de CEVA il suffit de montrer donc que : $TDM - test 5- Problem 2 F017e847143808fd1d9126cd5cdc48cf4cd1178a$ .=> (*)

Maintenant soient $TDM - test 5- Problem 2 831ee3bcd8926cdd97ad1323e0b3dfbbb3566f9b$ et $TDM - test 5- Problem 2 E6d583152a344719edb9b0763a6f106a651baa09$ les milieux respectifs de $TDM - test 5- Problem 2 9995977ff1927fcee8ade1fd8d5cc873c5427113$ et $TDM - test 5- Problem 2 Aca751fc6f7137257040583fb911965523ac57b5$ , et $TDM - test 5- Problem 2 C10adcbafeae6d28b7793664dab7ff34939c0b24$ les points d'intersection du cercle $TDM - test 5- Problem 2 67698bfdd86988abacda876053d2a023416f403a$ inscrit avec les côtés $TDM - test 5- Problem 2 B027b2565d655e11e9c1a84df64cd66190af7f34$ .
On peut aisément remarquer que les trois trapézoïdes $TDM - test 5- Problem 2 2bea7da9d6f0796081c60be598ea2fee5df98a71$ ont deux angles droits, et ainsi on obtient directement : $TDM - test 5- Problem 2 422be88f8dcdf904ab931fce7fe2d375d7500062$ , $TDM - test 5- Problem 2 F489aa58479b16b2e66978c6916531bad5c2b76d$ et $TDM - test 5- Problem 2 D82196dacb010f87464a8587508209905061a24c$ .

Ainsi (*) devient équivalente à : $TDM - test 5- Problem 2 402ff6cc91fa890987fe790ce0ff0b663ea99eed$ .
Mais puisque :
$TDM - test 5- Problem 2 Ca20bed2b68c73ff23f859d22766329d98c2c807$
$TDM - test 5- Problem 2 4c9f10161d48da951b4271441dd324e0a5bf3e93$
$TDM - test 5- Problem 2 37a44339399d70adf66e44ab2ac16ba6fdf541c5$ .
On obtient directement le résultat voulu.

Salut,

Désolé pour ma question, mais je comprend pas le passage signalé en rouge ?

Avec plaisir Smile

$TDM - test 5- Problem 2 F9467e6dccf7e3b3f2af9de74f8d072063a4eb32$ est le milieu de $TDM - test 5- Problem 2 D188bdfefac6088bdcfb8ca6014a5d00c0a33360$ . Et puisque chaque trapézoide a deux angles droits, on peut facilement vérifier ( soit par Thalès, ou bien par des cosinus dans les triangles rectangles) que effectivement dans le côté opposé à $TDM - test 5- Problem 2 D188bdfefac6088bdcfb8ca6014a5d00c0a33360$ la projection orthogonale de $TDM - test 5- Problem 2 88889fc7386dff60cb2c0aab6881818d5576410c$ est le milieu de ce côté.
J'espère avoir répondu à ta question.

Mehdi.O a écrit:

ali-mes a écrit:

Mehdi.O a écrit:: Ma Solution :
J'ai des problèmes avec Geogebra alors il est préférable de faire une figure pour mieux suivre dessus.
Sans nuire à la généralité du problème supposons que $TDM - test 5- Problem 2 A19797fa9116c4ffb0d7d3349505bedcce5f4d46$ se trouve à l'intérieur de $TDM - test 5- Problem 2 D820d68eec72c69a741f1182ddf7bd8ac280546e$ .
Par le théorème de CEVA il suffit de montrer donc que : $TDM - test 5- Problem 2 F017e847143808fd1d9126cd5cdc48cf4cd1178a$ .=> (*)

Maintenant soient $TDM - test 5- Problem 2 831ee3bcd8926cdd97ad1323e0b3dfbbb3566f9b$ et $TDM - test 5- Problem 2 E6d583152a344719edb9b0763a6f106a651baa09$ les milieux respectifs de $TDM - test 5- Problem 2 9995977ff1927fcee8ade1fd8d5cc873c5427113$ et $TDM - test 5- Problem 2 Aca751fc6f7137257040583fb911965523ac57b5$ , et $TDM - test 5- Problem 2 C10adcbafeae6d28b7793664dab7ff34939c0b24$ les points d'intersection du cercle $TDM - test 5- Problem 2 67698bfdd86988abacda876053d2a023416f403a$ inscrit avec les côtés $TDM - test 5- Problem 2 B027b2565d655e11e9c1a84df64cd66190af7f34$ .
On peut aisément remarquer que les trois trapézoïdes $TDM - test 5- Problem 2 2bea7da9d6f0796081c60be598ea2fee5df98a71$ ont deux angles droits, et ainsi on obtient directement : $TDM - test 5- Problem 2 422be88f8dcdf904ab931fce7fe2d375d7500062$ , $TDM - test 5- Problem 2 F489aa58479b16b2e66978c6916531bad5c2b76d$ et $TDM - test 5- Problem 2 D82196dacb010f87464a8587508209905061a24c$ .

Ainsi (*) devient équivalente à : $TDM - test 5- Problem 2 402ff6cc91fa890987fe790ce0ff0b663ea99eed$ .
Mais puisque :
$TDM - test 5- Problem 2 Ca20bed2b68c73ff23f859d22766329d98c2c807$
$TDM - test 5- Problem 2 4c9f10161d48da951b4271441dd324e0a5bf3e93$
$TDM - test 5- Problem 2 37a44339399d70adf66e44ab2ac16ba6fdf541c5$ .
On obtient directement le résultat voulu.

Salut,

Désolé pour ma question, mais je comprend pas le passage signalé en rouge ?

Avec plaisir Smile

$TDM - test 5- Problem 2 F9467e6dccf7e3b3f2af9de74f8d072063a4eb32$ est le milieu de $TDM - test 5- Problem 2 D188bdfefac6088bdcfb8ca6014a5d00c0a33360$ . Et puisque chaque trapézoide a deux angles droits, on peut facilement vérifier ( soit par Thalès, ou bien par des cosinus dans les triangles rectangles) que effectivement dans le côté opposé à $TDM - test 5- Problem 2 D188bdfefac6088bdcfb8ca6014a5d00c0a33360$ la projection orthogonale de $TDM - test 5- Problem 2 88889fc7386dff60cb2c0aab6881818d5576410c$ est le milieu de ce côté.
J'espère avoir répondu à ta question.

Merci Mehdi.O pour ta réponse !

Je l'ai compris, voici une méthode pour la démontrer:

Considérons l'application P qui relite chaque point X par un point Y tel que Y est la projection orthogonale de X sur (AC).

On a P(I)=E et P(X)=B_1 et P(O)=M_b

Et il est connu que la projection orthogonale conserve les barycentres.

Et puisque O est le milieu de [IX] on conclut que M_b est le milieu de [EB_1].

Les autres cas peut être traités analogiquement.

Oui cest bien ça Smile