TDM -test 5 - Problem 1

il faut montrer que a-b>1 et a+b>1

voici une solution
a²-b²=(a+b)(a-b) , supposons que a²-b² est premier , on a alors a+b=1 ou a-b=1 ou a-b=-1(le cas a+b=-1 est a rejeté car a+b>=1)
1/ cas: a+b=1-->a=1-b
l’équation est donc équivalente à x²+1-b=bx+1 --> x²=bx+b--->x²=b(x+1) ----> x²/(x+1)=b
b est un entier alors x²/x+1 est aussi un entier implique x+1 divise x² et comme x+1 est premier avec x² alors x=0 implique b=0 et a=1 donc a²-b²=1 qui n'est pas premier
2/cas:a-b=1---> a=1+b
l’équation est donc équivalente à x²+1+b=bx+1 -->x²=bx-b--->x²=b(x-1)--> x²/(x-1)=b
d'ou x²/(x-1) est entier d'ou x=2 et b=4 et a= 4*2+1-4=5 ainsi a²-b²=25-16=9 qui n'est pas premier .
3/cas a-b=-1
a-b<0 et a+b>0 alors a²-b²<0 donc a²-b² n'est pas premier .

boubou math a écrit:

facile, voici une solution
a²-b²=(a+b)(a-b) , supposons que a²-b² est premier , on alors a+b=1 ou a-b=1
1/ cas: a+b=1-->a=1-b
l’équation est donc équivalente à x²+1-b=bx+1 --> x²=bx+b--->x²=b(x+1) ----> x²/(x+1)=b
b est un entier alors x²/x+1 est aussi un entier implique x+1 divise x² or cela est impossible car x+1 est premier avec x² .
2/cas:a-b=1---> a=1+b
l’équation est donc équivalente à x²+1+b=bx+1 -->x²=bx-b--->x²=b(x-1)--> x²/(x-1)=b
d'ou x²/(x-1) est entier , absurde . Cela finit la démonstration.

a-b=1 ou a-b=-1

Ma solution est incomplète, je suis entrain d’éditer

Voici ma solution :
On a x²+a=bx+1 doonc x²-bx+(a-1)=0 donc delta = b²-4a+4 ce qui est equivalent a delta = b²-a²+(a-2)² , puisque x est un entier positif donc delta doit etre un carré parfait , pour cela supposant que delta =k²
donc a²-b²=(a-2)²-k²=(a-2-k)(a-2+k)
Donc si a-2-k=1 , a-2+k doit etre different de a²-b² pour finir notre raisonnement , pour cela supposant que a-2-k=1 ce qui veut dire que a= 1+k+2 , donc (a-2+k) = 1+2k ! ( 1 )
Calculons maintenant b² :
tout en sachant que b²-4a+4=k² donc ( apres le calcul ) b² = 8+4k , (maintenant on peut calculer a²-b²)
a²-b² = ( 1+k+2)² -8-4k = 1+k²+4+2k+4+4k -8-4k = 1+2k+k² ce qui est different de 1+2k (1)
CQFD !
sauf erreur

Soit a et b et x trois entiers positifs tel que x²+a=bx+1 (1)
Raisonnement par absurde : supposons que a²-b² est premier …
On a a²-b²=(a-b)(a+b)
Puisque 2b>=0 alors a+b>=a-b
Et puisque a²-b² est premier et a+b>=a-b alors a-b=1 et a+b=a²-b²
On a alors a=b+1 .
Remplaçons dans (1) a par b+1 :
On a alors x²+b-bx=0  x²-1 + b(1-x)=-1  (1-x)(x+1-b)=1
Et puisque 1-x £ Z et x+1-b £ Z car x £ Z et b £ Z
Alors soit (1-x=1) et (x+1-b=1) ou (1-x=-1) ou (x+1-b=-1)
Ainsi soit b=0 ou b=4
Alors (b=0 et a=1) ou (b=4 et a=5)
Alors a²-b²=1 ou a²-b²=9
Contradiction : car 1 et 9 sont non premiers
Alors ce qu’on a suppose est faux
Ainsi a²-b² est non premier.

Même s'il est trivial.

a²-b²=(a-b)(a+b) premier et a+b >= a-b , alors deux cas : (a+b = 2 ou a+b = 1) et a-b=1 .

Dans les deux cas il y a une contradiction.

M.Marjani a écrit:

Même s'il est trivial.

a²-b²=(a-b)(a+b) premier et a+b >= a-b , alors deux cas : (a+b = 2 ou a+b = 1) et a-b=1 .

Dans les deux cas il y a une contradiction.

Voici qui ns a poussé a prendre la décision de l'IMO
BRavo MARJANI il a prouvé un exercice qu'avec 2 et 1
bravo encore !
ki na pas fait cette démonstration rha gher yadfaach je ferai le tout pour que MARJANI sera admis en MP******************** meme si cela peut me prendre plus que (10 min ) mais je l'espere bien .

Mehdi.A a écrit:

M.Marjani a écrit:

Même s'il est trivial.

a²-b²=(a-b)(a+b) premier et a+b >= a-b , alors deux cas : (a+b = 2... ou a+b = 1) et a-b=1 .

Dans les deux cas il y a une contradiction.

Voici qui ns a poussé a prendre la décision de l'IMO
BRavo MARJANI il a prouvé un exercice qu'avec 2 et 1
bravo encore !
ki na pas fait cette démonstration rha gher yadfaach je ferai le tout pour que MARJANI sera admis en MP******************** même si cela peut me prendre plus que (10 min ) mais je l'espere bien .

Mdrr xd j'ai donné un simple exemple, que tu peux le généraliser comme suit:

a-b =< a+b et a²-b² premier alors a-b=1 et a+b=p ==> 2b+1=p ==> p-1=2b et 2a=p+1 et 2a=2(b+1)

D'autre part, x²+a=bx+1 <=> x²+(a-1)-(a-1)x=0 ==> x²=(a-1)(x-1) alors soit a-1=x-1 soit a-1=0 soit x-1=0

Si a=1 alors b=0 donc a²-b²=1 (contradiction) . Si x=1 alors x=0 (contradiction) . Si a-1=x-1 alors x²=(x-1)² (Contradiction)

Nchaalah... je suis optimiste...

n.naoufal a écrit:

Malheureusement, le premier passage est incorrecte. Tu peux la remarquer puisque a-1 n'est plus une constante, mais un variable.

boubou math a écrit:

voici une solution
a²-b²=(a+b)(a-b) , supposons que a²-b² est premier , on alors a+b=1 ou a-b=1 ou a-b=-1(le cas a+b=-1 est a rejeté car a+b>=1)
1/ cas: a+b=1-->a=1-b
l’équation est donc équivalente à x²+1-b=bx+1 --> x²=bx+b--->x²=b(x+1) ----> x²/(x+1)=b
b est un entier alors x²/x+1 est aussi un entier implique x+1 divise x² et comme x+1 est premier avec x² alors x=0 implique b=0 et a=1 donc a²-b²=1 qui n'est pas premier
2/cas:a-b=1---> a=1+b
l’équation est donc équivalente à x²+1+b=bx+1 -->x²=bx-b--->x²=b(x-1)--> x²/(x-1)=b
d'ou x²/(x-1) est entier d'ou x=2 et b=4 et a= 4*2+1-4=5 ainsi a²-b²=25-16=9 qui n'est pas premier .
3/cas a-b=-1
a-b<0 et a+b>0 alors a²-b²<0 donc a²-b² n'est pas premier .

??

Spoiler:

, je ne vois pas le problème, pourtant la solution est facilement compréhensible.

(a+b=1 et a-b premier ) ou (a-b=1 et a+b premier ) ou (a-b=-1 et a+b -(premier))
je ne voie pas ou est la faute ??

n.naoufal a écrit:

, je ne vois pas le problème, pourtant la solution est facilement compréhensible.

Je parle de l'équation, et l'utilisation du Delta.. est-elle autorisé?

Ce sujet est utile: https://mathsmaroc.jeun.fr/t16222p30-joli-probleme-ababab#138300

@Boubou math: Regardes bien ta solution, ce n'est guére ce que tu disais :d car 1 n'est pas premier.

Même les fractions sont interdites lorsqu'il s'agit d'un probléme d'arithmétique qu'aprés savoir qu'un tel nombre divise l'autre.

M.Marjani a écrit:

n.naoufal a écrit:

, je ne vois pas le problème, pourtant la solution est facilement compréhensible.

Je parle de l'équation, et l'utilisation du Delta.. est-elle autorisé?

Ce sujet est utile: https://mathsmaroc.jeun.fr/t16222p30-joli-probleme-ababab#138300

@Boubou math: Regardes bien ta solution, ce n'est guére ce que tu disais :d car 1 n'est pas premier.

Même les fractions sont interdites lorsqu'il s'agit d'un probléme d'arithmétique qu'aprés savoir qu'un tel nombre divise l'autre.

si un nombre premier x s’écrit sous la forme x=ay alors forcement a=1 ou y=1 ou a=-1 ou y=-1 ,
j'arrive pas à trouver le problème.

boubou math a écrit:

M.Marjani a écrit:

n.naoufal a écrit:

, je ne vois pas le problème, pourtant la solution est facilement compréhensible.

Je parle de l'équation, et l'utilisation du Delta.. est-elle autorisé?

Ce sujet est utile: https://mathsmaroc.jeun.fr/t16222p30-joli-probleme-ababab#138300

@Boubou math: Regardes bien ta solution, ce n'est guére ce que tu disais :d car 1 n'est pas premier.

Même les fractions sont interdites lorsqu'il s'agit d'un probléme d'arithmétique qu'aprés savoir qu'un tel nombre divise l'autre.

si un nombre premier x s’écrit sous la forme x=ay alors forcement a=1 ou y=1 ou a=-1 ou y=-1 ,
j'arrive pas à trouver le problème.

Non c'est une régle incorrecte malheureusement. ay=x et x premier implique que si a>=y alors y=1 et a=Un nombre premier.

Pardon, mais je ne sais pas de quoi tu parles? A vrai dire, tu te mêles peut être les pinceaux en parlant de mon utilisation de Delta ici.

M.Marjani a écrit:

boubou math a écrit:

M.Marjani a écrit:

n.naoufal a écrit:

, je ne vois pas le problème, pourtant la solution est facilement compréhensible.

Je parle de l'équation, et l'utilisation du Delta.. est-elle autorisé?

Ce sujet est utile: https://mathsmaroc.jeun.fr/t16222p30-joli-probleme-ababab#138300

@Boubou math: Regardes bien ta solution, ce n'est guére ce que tu disais :d car 1 n'est pas premier.

Même les fractions sont interdites lorsqu'il s'agit d'un probléme d'arithmétique qu'aprés savoir qu'un tel nombre divise l'autre.

si un nombre premier x s’écrit sous la forme x=ay alors forcement a=1 ou y=1 ou a=-1 ou y=-1 ,
j'arrive pas à trouver le problème.

Non c'est une régle incorrecte malheureusement. ay=x et x premier implique que si a>=y alors y=1 et a=Un nombre premier.

je comprend bien ou tu veux arriver mais ma démarche reste correcte facile a comprendre,le lemme que je viens de citer reste aussi correcte .

Les solutions de boubou-math et de n.naoufal sont correctes et parfaites.
FIN DE LA DISCUSSION !!

pourquoi il n'y a pas deux autres sujets pour discutter les 2 autres exos ?

boubou math a écrit:

M.Marjani a écrit:

Non c'est une régle incorrecte malheureusement. ay=x et x premier implique que si a>=y alors y=1 et a=Un nombre premier.

je comprend bien ou tu veux arriver mais ma démarche reste correcte facile a comprendre,le lemme que je viens de citer reste aussi correcte .

Elle est correcte dans ce cas seulement.. mais incorrecte si je te donne une deuxiéme équation..
Conclusion: le "ou" que t'as utiliser n'est pas à sa place, la preuve, prends une 2éme équation et tu vas avoir d'autres solutions qui ne sont plus correctes. :d

Elle reste une belle démarche.

@n.naoufal: Moi aussi je veux savoir pourquoi l'utilisation du Delta si "a-1" est un variable n'est plus autorisé..
Question: t'as vu le sujet que j'ai fillé?

Marjani t'as mal compris le truc de "a-1" variable et Delta. Dans le sujet que tu as donné, l'inconnu est x et dans Delta nous retrouvons des données en fonction x, ici ce n'est pas autorisé.
Dans cette équation le variable est x, a n'a aucune relation avec x, on peut le considérer comme étant fixe ....