Joli probléme: a+b=ab=a^b

M.Marjani a écrit:

Ma Solutution proposé pour l'exercise:

On va discuter selon {a+b-ab=0}:
- Supposons que a=b, donc 2a-a²=0, implique que a=2=b.
- Supposons que a=/b, donc il existe un réel "c" tel que b=a+c.
* Donc a+a+c-a(a+c)=0, ce qui implique a²-a(2+c)+c=0, prenant ce résultat et discutant selon le réel c:
* ∆=(2+c)²-4c, donc a1=(2+c-V(c²+4))÷2, a2=(2+c+V(c²+4))÷2
* On sait que 2+c+V(c²+4)>=0, donc (2+c)²=c²+4, d'ou 4c>=0, c>=0 (1).
* Dans a1, remplaçant c par 0, donc a1=0. On sait que a+b=ab, donc 0+b=0, Et revenant à ab=a^b, 0^0 n'est pas défini, çe qui nous pousse à anuller a1 et laisser a2.
* D'aprés (1) on a c>=0, et trvaillant sur a2=(2+c+V(c²+4))÷2:
Si c=0: Donc a2=a=2.
Si c>0: On a poser b=a+c, c>0 implique que b>a donc remplaçant b par sa valeur dans a+b=ab, alors: a+(a+c)>ab ==> Absurde.
Il en résulte que a=2 est la seule solution, et remplaçant a par sa valeur, donc a+b=ab => 2+b=2b => b=2. D'ou a=b=2 est la seule solution.
Donc: S= {2,2}.

Merçi.

Bonjour Marjani, mais tu as commis une petite faute d inattention qui entraine que tt ce ki suit é faux.
Voila a+a+c-a(a+c)=-a²+a(2-c)+c et non a²+a(2+c)+c

Merci,
J viens de voir l exercice et je cherche une méthode .
Quand je la trouveré je la posterais

Mehdi.O a écrit:

M.Marjani a écrit:

Ma Solutution proposé pour l'exercise:

On va discuter selon {a+b-ab=0}:
- Supposons que a=b, donc 2a-a²=0, implique que a=2=b.
- Supposons que a=/b, donc il existe un réel "c" tel que b=a+c.
* Donc a+a+c-a(a+c)=0, ce qui implique a²-a(2+c)+c=0, prenant ce résultat et discutant selon le réel c:
* ∆=(2+c)²-4c, donc a1=(2+c-V(c²+4))÷2, a2=(2+c+V(c²+4))÷2
* On sait que 2+c+V(c²+4)>=0, donc (2+c)²=c²+4, d'ou 4c>=0, c>=0 (1).
* Dans a1, remplaçant c par 0, donc a1=0. On sait que a+b=ab, donc 0+b=0, Et revenant à ab=a^b, 0^0 n'est pas défini, çe qui nous pousse à anuller a1 et laisser a2.
* D'aprés (1) on a c>=0, et trvaillant sur a2=(2+c+V(c²+4))÷2:
Si c=0: Donc a2=a=2.
Si c>0: On a poser b=a+c, c>0 implique que b>a donc remplaçant b par sa valeur dans a+b=ab, alors: a+(a+c)>ab ==> Absurde.
Il en résulte que a=2 est la seule solution, et remplaçant a par sa valeur, donc a+b=ab => 2+b=2b => b=2. D'ou a=b=2 est la seule solution.
Donc: S= {2,2}.

Merçi.

Bonjour Marjani, mais tu as commis une petite faute d inattention qui entraine que tt ce ki suit é faux.
Voila a+a+c-a(a+c)=-a²+a(2-c)+c et non a²+a(2+c)+c

Merci,
J viens de voir l exercice et je cherche une méthode .
Quand je la trouveré je la posterais

Bonjour Mehdi, tu vas bien?

C'était plutot une faute de frappe xD.. J'ai voullais écrire b=a-c au lieu de b=a+c, donc çelà ne change rien dans la methode.
Bonne remarque, c'est réctifier.

Bonjour Marjani,
Oui je vais bien.

Ah ok je vois mnt.
Mais sinn ta pas kelke exos a poster stp

Merci d'avance

salam je vous propose une solution BIEN CLAIRE

a+b=ab=a^b

====> a > 0 (pour définir a^b)

====> b > 0 (car ab=a^b )

ensuite

a=b(a-1) ====> a > 1

b=a(b-1) ====> b > 1

......................................

ab = a^b

<==> (ab)^a = a^(ab)

<==> (a^a).(b^a) = a^(a+b)

<==> (a^a).(b^a) = (a^a).(a^b)

<==> b^a = a^b

<==> a.ln b = b.ln a

<==> a.ln(a/(a-1)) = a/(a-1) .ln a ( on simplifie par a)

<==> lna -ln(a-1) = lna /(a-1)

<==> (a-2).lna - (a-1).ln(a-1) = 0

...............................................................
soit f(x) = (x-2).lnx - (x-1).ln(x-1) pour x > 1

a est alors une solution de f(x) = 0

f'(x) = lnx + (x-2)/x - ln(x-1) -1

f'(x) = lnx - ln(x-1) - 2/x

........variations de f'......................................

f''(x) = 1/x -1/(x-1) +2/x² = (x-2)/x²(x-1)

x...........|| 1...................................2 ..................................+inf
f''(x).......|| .............(-)....................0...................(+)................
f'(x)........|| +inf..décroissante.......(ln2 - 1)......croissante.......0

donc f' continue strict.décroiss. et change de signe sur ]1,2[

f' s'annule en un point unique xo dans ]1,2[

f' est toujours (-) sur ]2,+inf[

................variations de f ................................................

x.......|| 1.......................xo.....................2.........................+inf
f'(x).. || ...........(+).........0.........(-)........ m .......(-)..................
f(x)...|| 0..croissante.......M.............décroissante...................... L

m = ln2 -1
M = max de f > 0
L = limf (+inf) = -inf (un peu de calcul classique ) < 0

Donc

sur ]1,xo[ , f(x) > 0

sur ]xo, +inf[ , f cont. stric. décroiss. et change de signe

f(x) = 0 admet alors une solution unique a dans ]xo,+inf[

Comme f(2) = 0 ====> a=2 ===>b =2


.............................................. sauf erreur......................

BJR à Toutes et Tous !!
BJR Mr houssa !

C'est correct !!! Mais tant qu'à faire , il vaut mieux dès le départ remarquer que le problème est symétrique en a et b et de là , les solutions éventuelles ENTIERES du problème vérifient l'équation a^b=b^a

Donc nécessairement a et b sont >=1 puis Ln(a)/a = Ln(b)/b
Il reste à étudier les Variations de la fonction :
f : x ----------> f(x)=Ln(x)/x définie sur [1;+oo[

et conclure forcément a=b
On revient en arrière .... a+b=ab s'écrira a^2=2.a qui donne pour seule possibilité a=b=2 .

Amicalement !! LHASSANE

Bonjour à tous, bonjour chers professeurs M. Houssam et M. Bison_Fûté;
J'ai bien aimé la façon dont vous avez analysé le problème, j'espère bien que vos visite se répete.

C'est bien de voir trois methodes différents à ce monstre probléme:

Celle de Najwa:

Spoiler:

Celle de M.Marjani:

Spoiler:

A la prochaine !

La solution de Najwa44 n'est pas vraiment correcte. Le système {a+b=x ; ab=y} n'équivaut à l'équation t²-xt+y que si x et y sont des constantes. Or, dans le raisonnement de Najwa44, x et y sont chacun des fonctions de a et b. Le passage n'est pour cette raison pas correct.
J'espère ne pas me tromper.

desolé.

Bison_Fûté a écrit:

BJR à Toutes et Tous !!
BJR Mr houssa !

C'est correct !!! Mais tant qu'à faire , il vaut mieux dès le départ remarquer que le problème est symétrique en a et b et de là , les solutions éventuelles ENTIERES du problème vérifient l'équation a^b=b^a

Donc nécessairement a et b sont >=1 puis Ln(a)/a = Ln(b)/b
Il reste à étudier les Variations de la fonction :
f : x ----------> f(x)=Ln(x)/x définie sur [1;+oo[

et conclure forcément a=b
On revient en arrière .... a+b=ab s'écrira a^2=2.a qui donne pour seule possibilité a=b=2 .

Amicalement !! LHASSANE

Merci Mr.LHassane pour ton intervention :

C tout à fait exactement ce que j'ai fait ; mais je ne sais pas pourquoi ils n'ont été pas satisfaits de ma réponse . ?

à +

BJR à Toutes et Tous !!
BJR {}-{}=l'infini !!

Tout d'abord , voudrais-tu bien m'excuser parce que , en
répondant suite à Mr Houssa , je n'ai pas parcouru tout
l'historique du Topic !! Celà dit la méthode consistant à
étudier les variations de
x ----------> f(x)=Ln(x)/x sur [1;+oo[ et remarquer que le Pb posé es symétrique en a et b
est IRREPROCHABLE et COHERENTE dès qu'il s'agit du Pb en nombres Entiers !!

@ M.Marjani : la remarque de Dijkschneier concernant la
proposition de Melle Najwa est tout à fait de Bon Aloi :
en effet chercher deux REELS INCONNUS mais sachant
exactement ce que valent leur SOMME S et leur PRODUIT P , revient à résoudre l'équation du Second Degré X^2-S.X+P=0

Mais ICI , en l'occurence , la SOMME comme le PRODUIT des
inconnues a et b est P=a^b et S=a^b qui sont également INCONNUES donc celà ne fonctionne pas !!!

Bonne Journée & Bonne Continuation de Vacances !! LHASSANE

.

najwa 44 j'ai fait comme toi
la démarche de formuler les données en un système puis le résoudre selon la formule permettant de trouver le couple (x,y) lorsqu'on a un système avec un produit et une somme. Mais le problème que j'ai renconté c'est je n'ai pas pu manier les "Delta". Je suis arrêté ici après avoir formulé le système en équation et c'est tout
mais pour contrôler les deltas c'est pas facile pour moi !