question!???

bonjour,
j'ai bien essaye de demontrer la propriete de la borne sup (chaque partie non vide et majoree de IR admet une une borne sup),apres quelques tentatives j'ai considere une suite qu'on peut par intuition savoir qu'elle tend bien vers cette borne et pour montrer ca convergence je dois admettre un autre résultat qui caracterise l'ensemble IR (axiome de cantor...etc)...je veux savoir si il existe une demonstration sans admettre un telle resultat et sans utiliser les suites de cauchy qui sont aussi un résulat de ce theoreme ..

D'après ce que je sais , la propriété de la borne sup est un axiome. Donc pour en savoir plus , va voir du coté de la construction de R par les coupures de Dedekind.

ouii je vois...mais il faut quand même admettre quelque chose...soit la construction de IR par les suites de cauchy,soit aussi les coupures de Dedekind.

on peut démontrer la propriété de la borne sup sans se ramener à la construction de R par les coupures de dedeking ou les suites de cauchy, et ceci en utilisant un lemme appelé lemme de cousin( pas très connu mais très intéressant), je t'invite à le voir sur wikipedia.

bjr,bon je propose cette solution..
Soit A une partie non vide majorée de IR,et soit M l ensemble de ces majorant.
soit p le plus petit entier qui majore A donc p-1 n'est pas majorant de A,on pose [a(0),b(0)]=[p-1,p].
si (2p-1)/2 est un majorant de A on prend [a(1),b(1)]=[a(o),(2p-1)/2]
si non on prend [a(1),b(1)]=[(2p-1)/2,b(0)]..et ainsi de suite on construit une suite emboité dont la longueur est 1/2^n qui tend vers 0,donc l'intersection de ces intervalles est réduite en un point noté L..
si il existe x de A TQ: x>L==>x-L>0==> il existe k TQ: x-L>1/2^k
cád: x-L>b(k)-a(k) ce qui est contradictoire...(car L>=a(k) et b(k)>=x)
donc L majorant de A..
si il existe un majorant S<L...alors il suffit de prendre epsilon dans la définition de la limite de la suite a(n),epsilon=L-S...on trouve que il existe k tel que: a(k)>S..or a(k) n'est pas un majorant..Ainsi le réel L est un majorant de plus il est le plus petit élement de M..