Prép:TSM/ L:2/fonction réciproque :Arctang et racine n(ieme)

Cette leçon est normalement étudiée avant la lecon des suites meme si le manuel change l'ordre, pour la lecon vous la trouverez dans le manuel dans les pages 102 jusqu'a 110 , et la page 308 pour les résumés de propriétés, pour ce qui concerne les exercices on se contentera pas de ceux du manuel car ils sont entremêlés, je proposerai des exercices de solutionnaire et je postulerai un fichier pdf avec la lecon pour ceux qui n'ont pas le manuel . bonne chance !

Merci.

Petit rappel :
toute fonction définie sur I vers J , si tout "y" de J admet un antécédent unique de I alors on dit que f est une fonction bijective qui admet une fonction réciproque tel que f^-1(x) est définie de J vers I .
Tout fonction f monotone sur son domaine de définition et continue sur lui est bijective
( exemple simple , f(x) = x² est continue sur [1,2] et strictement croissante sur [1,2] donc elle est bijective vers f([1,2]) et admet une fonction réciproque . )

vu que c'est la deuxième lecon de l'année dernière, on va faire quelques exercices dans cette partie pour maitriser le concept de la fonction réciproque :

Exercice 1 ( source Dima Dima ( page 61 ) ) :
soit la fonction f : f(x) = 2x/(1-x²)
1)- démontrez que f est bijective de ]-1;1[ vers IR .
2)- détérminez la fonction réciproque de f .

Exercice 2 ( Dima Dima 3 , page 63 ) .
soit la fonction f : f(x) = x/(|x|+1)
1)- démontrez que f est bijective de IR vers ]-1,1[
2)- détérminez la fonction réciproque de .

Mim a écrit:

Petit rappel :
toute fonction définie sur I vers J , si tout "y" de J admet un antécédent unique de I alors on dit que f est une fonction bijective qui admet une fonction réciproque tel que f^-1(x) est définie de J vers I .
Tout fonction f monotone sur son domaine de définition et continue sur lui est bijective

Cette propriété est vraie pour toute fonction strictement monotone, car comme ça deux réels a et b distincts ne pourront pas avoir la même image. Or, si on ne dit pas strictement, cela nuirait à l'injection de f.

pas faux , merci pour la correction .

Pas grave en tout cas.

Je déteste ce genre d'exercices. Trop de calculs, trop ennuyeux

Exerce 1:

1/ On a: f '(x)= (2+2x^2/(1-x^2)^2 >0

Donc f est strictement croissante sur ]-1;1[
et puisqu'elle est continue sur ]-1;1[
donc f est bijective de ]-1;1[ vers f]-1;1[ = ]lim (x-->-1+)f(x) ; lim (x-->1-)f(x)[ = ]-oo;+oo[


2/ Dérterminons f-1

f(x)=y
<=> 2x/(1-x^2)=y
<=> 2x=y-yx^2
<=> yx^2 +2x-y=0

delta= 4(1+y^2) >0

x=[-1-sqrt(1+y^2)]/y
ou: x=[-1+sqrt(1+y^2)]/y

Donc: f-1(x)= [-1-sqrt(1+x^2)]/x ;x#0
Ou: f-1(x)=[-1+sqrt(1+x^2)]/x ; x#0

Déterminons: f-1(0)

f(0)=0 ==>f-1(0)=0

Puisque f est continue est strictement croissant sur ]-1;1[
Alors: f-1 est aussi strictement croissante et continue sur R
Donc lim(x-->0)f(x)=f(0)=0

Puisque: lim(x-->0) [-1-sqrt(1+x^2)]/x = oo

et: lim(x-->0) [-1+sqrt(1+x^2)]/x = 0

Alors:
f-1(x)=[-1+sqrt(1+x^2)]/x ; x#0
f-1(0)=0

Exercice 2:

1/ f(x)=x/(lxl+1)

f est continue sur ]-oo;0[U]0;+oo[

Et: lim(x-->0-)f(x)=lim(x-->0+)f(x)=0=f(0)
D'où: f est continue sur ]-1;1[

Si x>=0: f '(x)=1/(1+x)^2 >0
Si x<0: f '(x)=1/(1-x)^2 >0

Donc f est strictement croissante sur ]-1;1[
et puisque f est continue sur ]-1;1[

Alors: f est bijective de ]-1;1[ vers f]-oo;+oo[=]lim(x-->-oo)f(x);lim(x-->+oo)f(x)[=]-1;1[


2/ Résolvons: f(x)=y

Si x>=0: f(x)=y <=>x/(x+1)=y<=>x=y/(-y+1)
Si x<0: f(x)=y <=> x/(1-x)=y <=>x=y/(y+1)

Alors:
f-1(x)=x/(1-x) ; x>=0
f-1(x)=x/(x+1) ; x<0


Je propose de passer directement de passer aux applications des racines puisqu'on a déjà étudié la bijectivité l'année dernière et que le temps qui nous reste est limité.

Désolé pour mon absence, bonne idée hamouda , je poste quelques regles pour la partie de la racine :

la fonction x--> x^n est continue et strictement croissante sur de IR+ et est bijective de IR+ vers IR+, elle admet une fonction réciproque définie par ^nV(x) définie de IR+ vers IR+ .

propriétés :
-Y=^nV(x) <=> x = Y^n ( avec x et y de IR+)
-quelque soit x de IR+ on a : ^nV(x^n) = (^nVx)^n = x
-^nVx = ^nVy <=> x = y
-^nVx < ^nVy <=> x < y
-(^nVx)^p = ^nV(x^p)
-^pV(^nVx) = ^pnVx
-^nVx * ^nVy = ^nVxy
-^nVx/^nVy = ^nV(x/y)

la fonction x --> ^nVx est continue et strictement croissante sur IR+ et lim ^nVx = +oo quand x tend vers +oo .


Exercice 3 :
soit f la fonction définie sur [0,1] vers [0,1] avec : f(x) = 1/2 ( Vx + ^3Vx )
1)- démontrez que f est bijective .
2)- résolvez dans [0,1] l'équation : f^-1 (x) = 1/64

Exercice 4:
soit f la fonction définie sur I = IR+ comme suivit : f(x)= ^3Vx * ^4Vx + 2
1)- démontrez que f est bijective de IR+ vers un intervalle J que vous définirez .
2)- définissez f^-1 (x) pour tout x de J .

Exercice 3:

1-Soit a et b de R+ tel que: a>b => Va>Vb et 3^Va>3^Vb => f(a) >f(b)

Donc f est strictement croissante sur R+ (ça fait si longtemps que je n'ai pas utilisé cette méthode xD )
Et puisque f est continue sur R+ donc f est bijective de R+ vers f(R+)=[f(0);lim(x-->+oo)f(x)[=[0;+oo[

2- f-1(x)=1/64 <=> f(f-1(x)))=f(1/64) <=> x=f(1/64)=...
g pa la tête pr faire des calculs mnt -_-


Exercice 4:

1/ Soit a et b de R+ tel que: a>b => 4^Va>4^Vb et 3^Va>3^Vb => f(a) >f(b)
Donc f est strictement croissante sur R+
Et puisque f est continue sur R+ donc f est bijective de R+ vers f(R+)=[f(0);lim(x-->+oo)f(x)[=[2;+oo[

2/ Résolvons f(x)=y (y £ J)

f(x)=y <=> ^3Vx * ^4Vx + 2 = y

Posons z=12^Vx <=>x=z^12

L'équation devient alors: z^7=y-2 <=> z=7^V(y-2)

Donc 12^Vx =7^V(y-2) <=> x=[7^V(y-2)]^12

D'où:f-1(x)=[7^V(x-2)]^12 (x £ [2;+oo[

les 2 solutions sont justes , pour la dernière ligne de l'exercice 4 on peut rajouter une petite simplification : ^7 V(x-2)^12 <=> (x-2)*[^7 V(x-2)^5]

Exercice 5 :
soit f et g deux fonction définies par :
f(x) = x^3 +3x
g(x)= ^3V(x/2)+(1/2)V(x²+4) - ^3V(-x/2 + 1/2 V(x²+4) )

1)- démontrez que f est bijective de IR vers IR
2)- définissez la fonction Fog
3)- déduisez la fonction réciproque de f pour tout x de IR

g(x)=^3V(x/2)+(1/2)V(x²+4) - ^3V(-x/2 + 1/2 V(x²+4) )

ou g(x)=^3V[(x/2)+(1/2)V(x²+4)] - ^3V(-x/2 + 1/2 V(x²+4) )

Laquelle?

Hamouda a écrit:

g(x)=^3V(x/2)+(1/2)V(x²+4) - ^3V(-x/2 + 1/2 V(x²+4) )

ou g(x)=^3V[(x/2)+(1/2)V(x²+4)] - ^3V(-x/2 + 1/2 V(x²+4) )

Laquelle?

la 2ème , désolé pour mon inattention ( g(x)=^3V[(x/2)+(1/2)V(x²+4)] - ^3V(-x/2 + 1/2 V(x²+4) ) )