Un exo de logique

soit n de N*
poson f(n)=n(n²-1)
montre que klkesoit n et m de N* : f(n)=f(m)=>n=m

f(n)=f(m)
⇒n(n²-1) =m(m²-1)
⇒ n^3 -m^3 -(n-m) =0
⇒(n-m)(n²+nm+m² -1) =0
⇒n= m ou : n² +nm+m² =1 (impossible puisque net m >= 1)

aussi une 2 eme méthode
tu vas utiliser
(p ==>q) <=>(7q==>7p)
7 :négation

f(n)=f(m) ==> n(n²-1)-m(m²-1)=0
==> n^3 - m^3 -n +m =0
==> (n-m)(n²+mn+m²) - (n-m) =0
==> (n-m)(n²+mn+m²-1)=0
==> (n-m)((n-m)² + 3mn -1)= 0
Puisque m, n appartiennent à N* alors:
n>=1 et m>=1 ===> (n-m)² + 3mn -1>0
Par conséquent: n-m=0======> n=m
Donc f est injective.

bien fait de ta part sanfoura9 chapeau

et ca contunie v'la un autre exo pour b1 preparer a l'année prochaine

x + y > 2z ⇒(x > z ∨ y > z ) بين أن
x,y,z sont des entiers reels

si je me trompes pas : v veux dire ou ?

l'intellectuelle a écrit:

soit n de N*
poson f(n)=n(n²-1)
montre que klkesoit n et m de N* : f(n)=f(m)=>n=m

On a f'(n)=n²-1+2n²=3n²-1 >0 (car n>=1)
Alors f est strictement croissante ainsi elle est injective.
Et ainsi klkesoit n et m de N* : f(n)=f(m)=>n=m .
Sauf erreur

yasserito a écrit:

l'intellectuelle a écrit:

soit n de N*
poson f(n)=n(n²-1)
montre que klkesoit n et m de N* : f(n)=f(m)=>n=m

On a f'(n)=n²-1+2n²=3n²-1 >0 (car n>=1)
Alors f est strictement croissante ainsi elle est surjective
Et ainsi klkesoit n et m de N* : f(n)=f(m)=>n=m .
Sauf erreur

?
Plutôt injective!

Oui je m'excuse ,c'est rectifie , et merci

Pas grave!

l'intellectuelle a écrit:

et ca contunie v'la un autre exo pour b1 preparer a l'année prochaine

x + y > 2z ⇒(x > z ∨ y > z ) بين أن
x,y,z sont des entiers reels

si x >= y
2x > 2z > ==> x > z
si y>= x
2y>2z ==> y > z
donc
x + y > 2z ⇒(x > z ∨ y > z )

l'intellectuelle a écrit:

et ca contunie v'la un autre exo pour b1 preparer a l'année prochaine

x + y > 2z ⇒(x > z ∨ y > z ) بين أن
x,y,z sont des entiers reels

Par contraposée, l'implication est équivalente à :
(x<=z et y<=z) --> x+y<=2z
Ce qui est clairement vrai.