Un joli exercice de géométrie

Salut à tous, j'ai pris l'idée de cet exercice de deux simples exercices, j'espère que vous allez l'apprécier:

Soit ABC un triangle, et I le centre de son cercle inscrit. On note D l'intersection de (AI) et (BC).

Soit X le centre du cercle inscrit au triangle ACD.

On note X_1, X_2 et X_3 les centres des cercles circonscrits aux triangles IDX, CDX et IDC.

Montrer que les points D, X_1, X_2 et X_3 sont cocycliques.

Solution au problème :
Tout d'abord il est bien clair que X_3X_2 est médiatrice de DC tout comme X_2X_1 est médiatrice de DX, et les points I,X et C sont collinéaires Ainsi : angle{DX_1X_2}=1/2angle{DX_1X}=angle{DIC}=1/2angle{DX_3C}=angle{DX_3X_2}. i.e: les points D,X_1,X_2 et X_3 sont cocycliques.