jolie exo:D

soit x,y,z trois reels strictement positifs tel que : x+y+z=1

prouvez que:
(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)>= 64

solution :
on a : x+y+z=1
alors il suffit de montrer que : \produit[cyc](1+ (x+y+z)/x) >= 64
<=> \produit[cyc](x+x+y+z) >= 64xyz
d’après AM-GM on a : 2x + y+ z >= 4sqrt[4](x².y.z) .
alors on multiple les trois inégalités obtient par AM-Gm et voila le résultat se découle .

l'inégalité peut se résoudre par l'inégalité de Holder:
(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)>=[1+1/(xyz)^1/3]^3
et selon I.A.G; 1/(xyz)^1/3>=3 donc l'inégalité est supérieure à 4^3=64

Ma solution:
on a x>0 & x+y+z=1
donc 0<x<1 <=> 0<x<=1/3
<=> 1/x>= 3
<=> 1+1/x>=4
et de la meme façon on demontre ke (1+1/y)>=4 & ( 1+1/z)>=4
d'ou
(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)>=64

si klk1 de memebres remarquerai une faute n'hesite pas a la dire dans ma solution

l'intellectuelle a écrit:

Ma solution:
on a x>0 & x+y+z=1
donc 0<x<1 <=> 0<x<=1/3
<=> 1/x>= 3
<=> 1+1/x>=4
et de la meme façon on demontre ke (1+1/y)>=4 & ( 1+1/z)>=4
d'ou
(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)>=64

Bonsoir,
Désolé mais ta solution est fausse.
Sion prend par exemple x=y=1/4 et z=1/2 donc ces trois nombres vérifient la condtion x+y+z=1 et on a pas nécessairement z<=1/3 =>2>=3 ce qui donne une contradiction. J'espère que tu as saisi ta faute.

On a:
(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)=\sum(1/x) + \sum(1/xy) + 1/xyz +1

Par AM-GM: \sum(1/x) >= 3(1/xyz)^(1/3)
et : \sum(1/xy) >= 3 (1/xyz)^(2/3)

Donc: \sum(1/x) + \sum(1/xy) + 1/xyz +1 >= (1+ (1/xyz)^(1/3) ) ^(3)
Par AM-GM encore: (1/xyz)^(1/3) >= 3/(x+y+z) =3
d'où le résultat voulut.
Sauf erreur!

voici une autre solution:
on a:(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)=1+ 1/x + 1/y +1/z +1/xy +1/yz + 1/zx +1/xyz
et on a:d'après IAG: (x+y+z) /3 >=(xyz)^(1/3)
donc: 1/3^3 >=xyz *
d'où: 1/xyz >=27
et on obtient également de *:
1/9^3 >=x²y²z² donc :1/x²y²z² >=9^3
d'où: (1/x²y²z² )^1/3>=9 et d'après IAG sum(1/xy)>=3(1/x²y²z² )^1/3
donc: sum(1/xy)>=3.9=27
et on a: d'après CS: sum (1/x) >=9
donc: 1+sum (1/x) +sum( 1/xy)+1/xyz >=64

voici une autre solution:
l'inégalité est équivalente à [(x+1/x)(y+1/y)(z+1/z)]^1/3>=4
selon les 2 moyennes géométriques et harmonique:
[(x+1/x)(y+1/y)(z+1/z)]^1/3>=3/(x/x+1 + y/y+1 +z/z+1) {1}
x/x+1 + y/y+1 +z/z+1=3-(1/x+1 + 1/y+1 +1/z+1) {2}
et (x+1+y+1+z+1)(1/x+1 + 1/y+1 +1/z+1)>=9 <=> 1/x+1 + 1/y+1 +1/z+1>=9/4 {3}
avec 1,2 et 3 le résultat en découle

comment ca les moyennes harmoniques et geometriques ?

bonjour;
AZ360 a dit:
solution :
on a : x+y+z=1
alors il suffit de montrer que : \produit[cyc](1+ (x+y+z)/x) >= 64
<=> \produit[cyc](x+x+y+z) >= 64xyz
d’après AM-GM on a : 2x + y+ z >= 4sqrt[4](x².y.z) .
alors on multiple les trois inégalités obtient par AM-Gm et voila le résultat se découle .

je voudrais bien savoir qu'est ce que un produit cyclique

Hey répondez à la question de Rimetta : comment ça les moyennes harmoniques et geometriques ???

Eugéne bilal a écrit:

bonjour;
AZ360 a dit:
solution :
on a : x+y+z=1
alors il suffit de montrer que : \produit[cyc](1+ (x+y+z)/x) >= 64
<=> \produit[cyc](x+x+y+z) >= 64xyz
d’après AM-GM on a : 2x + y+ z >= 4sqrt[4](x².y.z) .
alors on multiple les trois inégalités obtient par AM-Gm et voila le résultat se découle .

je voudrais bien savoir qu'est ce que un produit cyclique

le produit cyclique de a+b est (a+b)(b+c)(c+a)
et le produit cyclique de 2a+b² est (2a+b²)(2b+c²)(2c+a²) ...

Soukaina Amaadour a écrit:

Hey répondez à la question de Rimetta : comment ça les moyennes harmoniques et geometriques ???

Moyenne arithmétique:
moyenne géometrique:
moyenne quadratique:
moyenne harmonique:

c'est quel niveau ca??

Niveau Olympiades ^^ , ce sont des inégalités qu'on enseigne pas mais qu'il est meilleur de savoir si on veut aller en olympiades

normalement meme les olampyades sont destinés a un niveau scolaire specifique non ? :p

pas vraiment. ca n'a generalement aucune relation avec les cours. juste selon la difficultee. un eleve de TC peut facilement resoudre un exo pour olymp de 2eme bac. generalement il a le bagage necessaire