Exercice carre parfait

Soit n nombre entien naturel different de 0

demontrez que si 2n+1 est un carre parfait alors n+1 et la somme de deux carre parfaits !!

Personne??

acab8 a écrit:

Soit n nombre entien naturel different de 0

demontrez que si 2n+1 est un carre parfait alors que le carre de n+1 et la somme de deux carre parfaits !!

Je pense que ce que j'ai ajouté en rouge manque dans votre question..
Si on prends n=4 donc 2n+1=9 carre parfait d'ou (n+1)²=25=16+9 somme deux carre et non 5 qui est la somme..Enfin c'est ce que je pense, et voici la démonstration que je vous propose..

Démonstration
Puisque 2n+1 est un carre parfait donc 2n+1=p² /p nombre de N
D'ou n²+2n+1=n²+p² ainsi (n+1)²=n²+p²
D'ou (n+1)² est une somme de deux carre parfaits..

Si cela est faux, veuillez poster une confirmation..
Amicalement

Desole , Rien Ne Manque a L'exerciice

Amicalement [b]

J'ai refait l'exercice et j'ai trouvé donc que vous avez raison ...
Voici une solution qui correspond à l'exercice

Reponse
Si 2n+1 était un nombre pair donc 2n est un nombre impair d'ou n n'est pas entier naturel
D'ou contradiction..
Donc 2n+1 est un nombre impaire.
On a 2n+1=p²
Donc n=(p²-1)/2
Puisque 2n+1 est impaire donc p est aussi impair.
D'ou p=2k+1/k £ N
Donc n=[(2k+1)²-1]/2
Ainsi n=(4k²+4k+1-1)/2 Donc n+1=2k²+2k+2=(k+1)²+k²
Donc n+1 est la somme de deux carre parfait..

Montrons que : 2n+1 carré parfait ==> n+1 somme de deux carrés parfaits pour tout n appartenant à N - {0}

2n +1 est un carré parfait alors 2n+1 = a² pour tout a appartenant à N
Alors a² est un nombre impair ce qui veut dire que a est aussi impair.
a est un nombre impair : a = 2k+1
a² = (2k+1)²

On a : 2n+1 = a²
2n+1 = (2k+1)²
2n+1 = 4k²+4k+1
2n = 4k²+4k
n = 2k² + 2k
n+1 = 2k²+2k+1
n+1 = k²+k²+2k+1
n+1 = k² + (k+1)²

Alors : 2n+1 carré parfait ==> n+1 somme de deux carrés parfaits

Ce qui finit la démonstration.