une généralisation !!

Soient a et b deux entiers naturels non nuls et premiers entre eux, prouver que :
.

Salut ,
Voici ma solution à cette splendide généralisation :
On fixe un certain , et soit le plus petit diviseur premier parmi les diviseurs premiers des termes de la suite , et on pose : , nous allons montrer que est atteint pour une unique valeur de . Par l'absurde, on suppose qu'il existe , telles que et , de telle sorte que , ont des diviseurs premiers strictement supérieurs à . On a donc: , or puisque    et sont premiers entre eux, il est clair que : , ainsi on obtient l'existence d'un certain tel que : et .
Maintenant on pose pour , or on a : , donc en décomposant l'ensemble , on obtient la décomposition suivante : , d'où on peut extraire des entiers , tels que , on a : , avec et .
Maintenant, si , alors d'après le principe des tiroirs on obtient le fait qu'il existe , tels que : , mais puisque pour tout , on a : , alors : , et ainsi : , ce qui est clairement absurde, donc , et ainsi puisqu'il y a       , et qu'il y a congruence modulo p si et seulement elle est vérifiée pour les indices, alors on obtient l'existence d'un divisible par , et ainsi . Absurde.

Ainsi, le maximum des valuations p-adiques des termes de la suite est atteint une unique fois, et ainsi ,on obtient le fait que : , avec et , ainsi il est clair que cette fraction n'est pas entière, d'où le résultat.