Oral Ulm 2011

Bonsoir,

vous trouverez ci-dessous les exercices que j'ai eu à l'oral de l'ens ulm l'année dernière (durée de l'oral 1heure) :

Exercice 1 :



Exercice 2 :

Dans un corps fini, y a t-il autant de polynômes que de fonctions polynomiales ?

Exercice 3 :

A quelle condition on peut réindexer une suite de telle sorte à la rendre monotone à partir d'un certain rang ?

Pour le deuxième , il me semble que oui il suffit de définir l'isomorphisme canonique qui lie ses deux e.v
c'est cela ?

Il n'y a pas d'isomorphisme.

Prenons Z/pZ pour exemple :

le polynôme X^p-X n'est pas nul, par contre la fonction polynomiale est nulle (petit théorème de fermat)

Pour le 3ème...

On montrera qu'une telle suite existe si et seulement si elle admet une limite vérifiant (resp ) pour un certain rang , tout d'abord on essayera de montrer le cas ou cette limite est finie , positive et étant une borne supérieure ainsi que le cas ou et les autres cas peuvent être traités de manière similaire. En effet , il est évident que tout sous ensemble de admet un plus petit élément , en effet à partir d'un certain rang les termes de la suite excèdent et donc tous le termes de la suite excèdent donc les sous ensembles en question admettent une borne inférieure qui est nécessairement distincte de si elle n'est pas atteinte alors pour tout il existe un terme égale à cette borne à près , et une infinité de tels existent donc pour assez grand coexiste au voisinage des deux bornes ce qui est contradictoire, maintenant on vérifie aisément qu'il existe une suite croissante telle que pour tout entier et pour tout on a , il suffit tout simplement de voir que pour n assez grand est assez proche de la borne supérieure donc supérieur à , ainsi pour tout entier définissons par avec et par convention il est clair que la suite est monotone il suffit de prouver qu'elle couvre tous les termes de la suite (u) , supposons par l'absurde que l'ensemble des termes qui n'apparaissent pas dans la suite est non vide et soit le plus petit élément de cet ensemble , il est clair que les termes strictement inférieurs à forment un ensemble finie et apparaissent tous dans la suite donc d'après la construction des ensembles , il existe assez grand tel que ne contient plus ces termes , ainsi se trouve tout seul comme minimum dans car en effet tous le termes soit qu'ils apparaissent ou pas dans la suite et qui appartiennent à sont plus grand que c'est tout simplement la définition de donc par miracle apparaît dans la suite ce qui est contradictoire .
Maintenant pour la réciproque , si on peut réindexer une suite de sorte que soit monotone à partir d'un certain rang alors elle admet une limite , supposons qu'il existe tel que pour tout , il existe tel que , Or à partir d'un certain si alors , choisisons et soit l'entier tel que ainsi comme alors il est clair que donc d'ou la contradiction , ainsi converge aussi vers ,et , si est infinie alors on peut montrer similairement que .

Oui, j'avais utilisé presque la même méthode, l'idée est la même

callo a écrit:

Solution: Ci-joint