Oraux X 2011

Sujet: Oraux X 2011 Ven 04 Nov 2011, 19:11

Voici les exercices de l'oral de maths à l'x :

Maths 2 (durée 50 min) :

Exercice 1 :

On considère un triangle ABC. Soit f la fonction qui à un point M de l'intérieur du triangle associe d(M,(AB))+d(M,(BC))+d(M,(AC))

Montrer que f admet un minimum et le calculer.

Exerice 2 : résoudre dans Mn(IR) l'équation : X²= -In

Maths 1 (durée 50 min) :

exercice sur les formes quadratiques et les permutations.

Sujet: Re: Oraux X 2011 Sam 12 Nov 2011, 00:52

Pour le premier exercice...
en notant $Oraux X 2011 6949799f955ab92bf67bb6b5f10624a84eafca16$ l'aire du triangle $Oraux X 2011 A1178bf177e0c39f2eb60b7b419fbca178a847cb$ et $Oraux X 2011 Ecf6818f71ca53421109b33058f570da3440c3ce$ alors
$Oraux X 2011 2ffa1f3e79d100627a1cdf38acf516ff3893ca1a$ , $Oraux X 2011 A879a294871737f02b89028d4aa2774d51263a3c$ , $Oraux X 2011 Ef68b0b6f83a1a6864756258119e7d8a551ad1b4$
soit alors $Oraux X 2011 2413a782da544d2a801b32d4efd26d7fcc7c9397$ et $Oraux X 2011 54233a8ff5871e4adffc85b8195dc406a5fc1ca8$ la plus petite hauteur du triangle $Oraux X 2011 29330ac23972c3ef4ca3605987f3266218f36cc2$ il vient donc :
$Oraux X 2011 7902a3622151ca0818a07b2a46dd434f15f9eac6$
cette valeur est atteinte si $Oraux X 2011 6336905404402ac321898cb2d5a2950cf53fdabd$ ...

à bientôt... Smile

Sujet: Re: Oraux X 2011 Dim 13 Nov 2011, 19:50

Oui, c'est une bonne méthode.

IL y a deux autres méthodes, une calculatoire et une autre qui commence par montrer que f est affine en introduisant trois vecteurs bien choisis et en calculant f à l'aide de ces vecteurs.

Féru Nombre de messages : 63 Age : 30 Date d'inscription : 14/11/2010

Exercice 2 :

On essayera de travailler avec le langage des endomorphismes, on convient de noter $Oraux X 2011 Bf79c76dcf76e98d5334b1676e89bececf96aee9$ l'endomorphisme canoniquement associé à $Oraux X 2011 C032adc1ff629c9b66f22749ad667e6beadf144b$ , il s'agit alors de résoudre l'équation $Oraux X 2011 F0aa2752f6762f6c5a229261cdfb6da276bb5556$ dans $Oraux X 2011 9ceab8bb42e602f9c428198e2c6fbea605551fe1$ , si $Oraux X 2011 D1854cae891ec7b29161ccaf79a24b00c274bdaa$ est impair alors l'équation n'admet évidemment aucune solution sur $Oraux X 2011 9ceab8bb42e602f9c428198e2c6fbea605551fe1$ , il suffit de composer l'équation par l’application $Oraux X 2011 B61369d19e185d781d50e55d057dcbbefee6a595$ qui donne : $Oraux X 2011 98fb7015a5019df822f6c1494e5dcfecb9cf8db0$ ce qui est clairement contradictoire, posons maintenant $Oraux X 2011 C596924a3e5a19c75f12569c85cbd025baeb38f6$ , on essayera de montrer par récurrence que pour tout $Oraux X 2011 F9574f4f8cca4f3a91111a975b6f7bb9f51d39f1$ on peut trouver une famille libre $Oraux X 2011 20c06a1bf91c23be7bdeeb4e0de9d16034367019$ gardant également la liberté de la famille $Oraux X 2011 432320ab6e664b622b6544fc09eeabe8b23254bc$ , l'initialisation traduit exactement le fait que $Oraux X 2011 Bf79c76dcf76e98d5334b1676e89bececf96aee9$ ne puisse être une homothétie sur une droite vectorielle dans $Oraux X 2011 9ceab8bb42e602f9c428198e2c6fbea605551fe1$ , supposons avoir trouver une telle famille qu'on va noter $Oraux X 2011 77f20d2684ba9d9df3cfe15b88c39124eca14a01$ , soit $Oraux X 2011 210efe6ad6edbd4383f19aaadc45956edcd15c2e$ un vecteur qui n'appartient pas à $Oraux X 2011 F94c31f2aa615ff05e99fa9d6c0c911fe37d91fc$ , si $Oraux X 2011 A1b4081e48930a3d586c4d23f10a4008726a1c88$ avec $Oraux X 2011 A45672a063c2afeb667791c83069bdda708a5789$ et $Oraux X 2011 625e536cd3e9ecb9d265a1a9f146f7fa052ef0d8$ alors en composant par $Oraux X 2011 Bf79c76dcf76e98d5334b1676e89bececf96aee9$ on obtient $Oraux X 2011 714dba20edabb4b24ecfe519bfbc7ae4c1fd30e0$ on a donc bien la décomposition $Oraux X 2011 11838d69e19a9d93b3e1365a58448cc5c42afd94$ , qui donne une contradiction car $Oraux X 2011 525ac91730b5f1f8c9b269982ff0add2ae989a2d$ ce qui permet de conclure la récurrence. Par conséquent on a bien trouvé une famille $Oraux X 2011 C818430c64dba8172462b344ef0edd33bb44e591$ qui est par suite une base de $Oraux X 2011 1d5592b91f44dcdb1b7adf8f82f89219f70b47b1$ , compte tenu de l'équation initiale la matrice de $Oraux X 2011 Bf79c76dcf76e98d5334b1676e89bececf96aee9$ dans cette base est donnée par : $Oraux X 2011 08efbdb09919ea48440ef3733328d3b6db839dd5$ avec

$Oraux X 2011 453a74817d568a997940dd02c9106b860ab7844d$

Réciproquement toute matrice semblable à cette matrice vérifie aisément notre équation $Oraux X 2011 5535bcdec4c47f48bc7dcaaf51ba2b5901a202e5$

Oui c'est bien ça.
L'exercice sur les formes quadratiques était :

on considère une forme quadratique q positive dans E euclidien de base a1...an. On suppose que la forme bilinéaire b associée à q vérifie : b(ai,aj)=<0 si i#j
On suppose qu'il n'existe pas de partition I et J de {1,...,n}vérifiant pour tout i de I et j de J : b(ai,aj)=0

Montrer que Ker q est de dimension au plus 1. et dans le cas ou dim Kerq = 1 montrer que Ker q est engendré par un vecteur de coordonnées positives.

Féru Nombre de messages : 63 Age : 30 Date d'inscription : 14/11/2010

Merci de l'avoir posté ici, pour un souci de clarté j'ai rédigé ci-joint une solution en pdf.