Parlons oraux...

Bonjour ,
suite à la demande des élèves de spé , et vu que les concours sont sur le point de s'achever (il reste les ENS cette semaine)
Je commencerai à poster les exos d'oraux.
Le premier exercice pose sur les matrices , je l'ai eu en DS comme question supplémentaire , c'est un oral de l'x et des écoles normales supérieures.
Soit f : Mn(K)-> K une application non constante tq pour toutes matrices A,B
f(A)f(B)=f(AB)
Montrer que :
f(A)=0 si et seulement si A n'est pas inversible.

BJR callo !!
Merci pour Tout ....

Il ne manque pas quelquechose par hasard ???
Parceque si on prend f identiquement NULLE qui satisfait à tes hypothèses bien entendu alors ..... ssa marche pas !!

a++ pour confirmer !!

LHASSANE

Ah ouii
, il manque que f n'est pas constante.
Merci mr Lhassan

callo a écrit:

Bonjour ......
Soit f : Mn(K)-> K une application non constante tq pour toutes matrices A,B
f(A)f(B)=f(AB)
Montrer que :
f(A)=0 si et seulement si A n'est pas inversible.

Re-BSR callo !!
Tout à fait à Chaud !!
Il existe au moins une matrice A telle que f(A)<>0 puisque f non constante ...
On en déduit que f(A).f(I)=f(A.I)=f(A) d'ou f(I)=1
Par ailleurs et en raison de ce qui précède si B est INVERSIBLE alors
f(B^(-1))=1/f(B)

Maintenant , entrons dans le vif du sujet :

Si H est INVERSIBLE alors il existerait U matrice telle que HU=UH=I d'ou
f(HU)=f(H).f(U)=f(I)=1 et de là f(H)<>0 sans quoi l'intégrité de IK serait mise en défaut .... Ainsi on a ====> par CONTRAPOSITION

Pour la réciproque 1 P'Tit Moment ......

A Tut .... LHASSANE

Tout à fait juste,
Essayez la réciproque qui est encore plus ouf
bonne réflexion

callo a écrit:

Tout à fait juste,
Essayez la réciproque qui est encore plus ouf
bonne réflexion

Cé vrai qu'elle est ouf !!
Alors un tuyau callo stp ......

Utilisez la relation d'équivalence des matrices :
A et B equivalentes ssi rg A = rg B ssi A=UBV où U et V inversibles.

Ce que j'ai donné n'est pas vraiment une indication ... c un dixième d'indication , si vous voulez un tuyau plus éclairant ... je vous le donne

Essayez de raccorder ça aux matrices nilpotentes.
Je vous laisse faire

Je continue à chercher pour le FUN !!
Merci bcp callo pour l'exo , c'est pas évident ou alors j'ai besoin d'un raffraichissement ....
pour cause de rouille ...

a++++ LHASSANE

ce n'est pas évident ! vraiment pas!
le prof a été surpris de voir 3 copies traitant cet exo...
(un exercice d'oral d'ens ou de l'x est censé etre comme ça)
Voici un lien pour rire un peu , c une kholle au lycée du parc ...je vous laisse découvrir
https://www.dailymotion.com/relevance/search/colle+le+parc+/video/x315ia_colle-de-maths_fun

callo a écrit:

ce n'est pas évident ! vraiment pas!
le prof a été surpris de voir 3 copies traitant cet exo...
(un exercice d'oral d'ens ou de l'x est censé etre comme ça)
Voici un lien pour rire un peu , c une kholle au lycée du parc ...je vous laisse découvrir
https://www.dailymotion.com/relevance/search/colle+le+parc+/video/x315ia_colle-de-maths_fun

J'ai bien ri en voyant cette Vidéo ... Quoique saccadée en raison sans doute du flux internet lié à ma bande passante et à l'encombrement !!
J'ai connu Jean-Michel FERRARD qui était Prof au Lycée du Parc à LYON avant de partir au Lycée Saint-Louis à PARIS !!
Cette ambiance de Kholle est fantastique ..... j'ai bien noté PIPO ( Ce qui Signifie en Français << Du N' importe Quoi >> ) que le Khôlleur a écrit sur la Copie et qui veut dire beaucoup de choses ... C'est Cruel , l'ambiance des Prépas !!!! Pas de Place pour la Médiocrité .....

OUi c toujours comme ça , les filles qui sortent en pleurs...
essayez de la revoir , ça mérite vraiment :d

je vous laisse , utilisez l'indice que j'ai donné ...c'est dur , je le reconnais

je pense que j'ai trouvé la bonne reponse ou bien les idées qu'il faut utilisé d'apres les indications de callo.
soit B une matrice equivalente a A,donc on a A=UBV /V£GL(IK)
donc f(A)=0<=>f(B)=0 et ona rg(A)=rg(B)=n
ce qui est important c'est que avec la relation d'équivalence A equivalent a B <=> f(A)=0<=>f(B)=0 on peut travailler seulement sur une classe d'quivalence sur la quel f ne s'annule qu'une fois car si non il est nulle dans chaque classe.
donc il suffit de prendre une seul classe Cl(A) et prouver que dans cette classe il existe une matrice de rang inferieur a n qui a pour image par f le 0,et bien les plus simples c'est les matrices nilpotante,(d'apres callo aussi) car A nilpotante =>A^(rg(A)+1)=0 =>f(A^(rg(A)+1))=0 =>f(A)=0
et c la fin,

salut tout le monde,la mème idée que kalm,juste pour continuer on choisit par exemple la matrice P=(0_(n-r),I_r) pour
(0_(n-r),0_r)

representer la classe d'équivalence des matrice ayant pour rang r<n.

Exactement !! c'est la matrice qu'il faut choisir...

Comme conclusion , si rgA < n alors elle est équivalente à cette matrice (que radouane a introduite) , cette dernière est nilpotente, donc f(A)=0.

BSR callo , Rédouane & kalm .....
Je continue ma Démo d'hier par la réciproque ! J'ai essayé comme Vous d'utiliser l'indication de callo !!

Réciproquement , supposons A non inversible alors elle serait semblable à une matrice B de la forme
B={Ir,O1 ;O2,O3}
C’est une matrice formée de QUATRE blocs :

Ir est la matrice-unité d’ordre r le rang de A
O1 est un Bloc nul (n-r) colonnes , r lignes
O2 est un Bloc nul r colonnes , (n-r) lignes
O3 est un Bloc carré nul d’ordre (n-r)

A et B ont même Polynôme Caractéristisque , celui de B est facile à déterminer , c’est :
P(X)=(X-1)^r .X^(n-r)
Le Théorème de Cayley-Hamilton assure que :
P(A)=O donc {A-In}^r .A^(n-r)=O

Un petit retour en arrière à propos de f(O)
On doit avoir {f(O)-1}.f(O)=0
Donc IK étant intègre :
f(O)=0 ou f(O)=1
On ne peut pas avoir f(O)=1 sinon puisque f est non constante alors il existerait au moins une matrice H telle f(H)=2 et alors :
f(O)=f(O.H)=f(O).f(H) soit 1=1.2=2 ce qui est absurde ….. Par conséquent f(O)=0

On a {A-In}^r .A^(n-r)=O donc :
0={f(A-In)}^r .{f(A)}^(n-r)
Un petit coup d’intégrité de IK pour affirmer que :
f(A)=0 OU f(A-In)=0

MAIS là ou je suis embêté : c'est comment prouver qu'on ne peut pas avoir f(A-In)=0 ?????

Merci callo pour ce Délicieux Exo !!!

Bonsoir;
C'est avec plaisir Mr Lhassan , que je poste ces exercices.
Il est intéressant d'utiliser Cayley , je vais essayer de prouver que f(A-In)<>0.
Je serai content si vous me dites ce que vous en pensez de ce programme de préparations aux oraux , si vous voulez que je continue ou Non.
A+

callo a écrit:

Bonsoir;
C'est avec plaisir Mr Lhassan , que je poste ces exercices.
Il est intéressant d'utiliser Cayley , je vais essayer de prouver que f(A-In)=0.
Je serai content si vous me dites ce que vous en pensez de ce programme de préparations aux oraux , si vous voulez que je continue ou Non.
A+

Tu devrais prouver que f(A-In)<>0 ....
Moi , personellement , celà m'est EQUILATERAL mais je pense que tes exos peuvent servir pour les Oraux des Spés Actuels et aussi potentiellement aux Sups Actuels pour l'an prochain In-Cha-Allah !!

LHASSANE

(oui f(A-In)<>0 ... )
Je continuerai donc.

Désolé ce revivre de vieux sujet, mais on peut simplement remarquer sans passer par le polynôme caractéristique que la matrice J_r d'ordre n ( qui contient le bloc I_r et que des 0 ) est équivalente à une matrice nilpotente ( il suffit de permuter les colonnes puisque r<n jusqu'à obtenir une matrice triangulaire supérieure à diagonale nulle et qui est clairement nilpotente ).

=> f est un morphisme ,donc si A est inversible alors f(A) aussi....
<= f(O) = O , si N est nilpotente d'indice p alors :(f(N))^p =f(N^p)=f(O)=0 donc f(N)=0
si P et Q sont inversibles et N nilpotente alors f(PNQ) =f(P)f(N)f(Q)=0
si A n'est pas inversible rg(A) = r < n :alors A est équivalente à une matrice nilpotente de rang r.à justifier et conclure.