ex 39 page 63 (2sm) l'analyse

kelkin peut m'aide sue ce ex ?

l'énoncé?

u(n) une suite arithmetique leurs termes est strictement possitif tel que

lim u(n)/n =1
on considere la suite suivant :
v(n)=1/u(n+1)+1/u(n+2)+........+1/u(2n)

montre que v(n) est (mouta9ariba) kelke soit n>0

On ne dit pas v(n) est (mouta9ariba) kelke soit n>0. plutôt on dit que
la suite (v(n)) est (mouta9ariba) convergente.
Il est clair que (v(n)) est croissante.
Soit eps>0, il existe p telque pour tout n>=p
on ait n(1-eps)=<u(n)=<n(1+eps)
==> qqs n>=p on a :

1/(n+1)(1+eps)=<1/u(n+1) =<1/(n+1)(1-eps)
....
1/(2n)(1+eps)=<1/u(2n) =<1/(2n)(1-eps)
----------------------
1/(1+eps){ 1/(n+1)+...+1/(n+n)=<v(n)=<1/(1-eps){1/(n+1)+....+1/(n+n)}

==>1/(1+eps){n/(n+n)} =<v(n)=<1/(1-eps){n/(n+1)}

==>1/2(1+eps) =<v(n)=<1/(1-eps)
==> (v(n)) bornée
Donc converge et sa limite dans[1/2,1]

merci abdelbaki.attioui
mais si tu as un autre reponse sans utilise (difinition de limite) .ca va etre bien

(v_n) est croissante et il est clair qu'a partir d'un certain rang v_n< 1/2 d'ou le resultat.

(u(n)) arithmétique
==> u(n)=a+nr avec a>0
Mais lim u(n)/n=1 ==> r=1 ==> u(n)=n+a >0 qqs n
==> v(n)=1/(n+1+a)+....+1/(n+n+a)
v(n)=< n/(n+1+a)<1 ==> (v(n)) majorée
Comme elle est croissante, elle converge