à la premiere vu c facile mais...(e^ix)+(e^iy)+(e^iz)=0

soit x,y,z des réels

MQ: (e^ix)+(e^iy)+(e^iz)=0 ==>(e^i2x)+(e^i2y)+(e^i2z)=0

Soient x,y et z des réels tels que exp(ix)+exp(iy)+exp(iz) = 0.
Alors 1 + exp(iy') + exp(iz') = 0 avec y' = y-x et z' = z-x.
En prenant les parties imaginaires dans l'égalité précédente, on trouve sin(y') = -sin(z'). (*)
En passant aux carrés, on a cos²(y') = cos²(z').
Donc cos(y') et cos(z') sont soit égaux soit opposés. (**).
De (*) et (**) on déduit que exp(iy') et exp(iz') sont soit conjugués soit opposés.
S'ils étaient opposés, on aurait l'absurdité triviale 1 = 0.
Donc ils sont conjugués et on peut écrire exp(iz') = exp(-iy') = 1/exp(iy').
D'où exp(iy')+exp(2iy')+1 = 0.
Donc exp(iy') est soit j soit j² où j = exp(2iπ/3).
Si exp(iy') = j alors exp(iz') = j² et inversement.
Dans les deux cas, 1+exp(2iy')+exp(2iz') = 0.
En multipliant par exp(2ix), on aboutit à exp(2ix)+exp(2iy)+exp(2iz) = 0.

trés bien .

Salut

Une démonstration du même acabi :

exp(ix)+exp(iy)+exp(iz)=0 se réecrit, en séparant parties réelle et imaginaire, ainsi :

sin(x)+sin(y)+sin(z)=0
cos(x)+cos(y)+cos(z)=0

que l'on peut réécrire :

sin(x)=-sin(y)-sin(z)
cos(x)=-cos(y)-cos(z)

En élevant les deux dernières relations au carrée, on obtient :

cos²(x)+sin²(x)=1=(-sin(y)-sin(z))²+(-cos(y)-cos(z))²=1+1+2sin(y)sin(z)+2cos(y)cos(z)
Autrement dit, la relation s'écrit : cos(y-z)=1/2

D'autre part, la relation exp(ix)+exp(iy)+exp(iz)=0 s'écrit :

exp(i2x)=(exp(iy)+exp(iz))^2=exp(2iy)+exp(2iz)+2exp(i(y+z)

Ainsi, exp(2ix)+exp(2iy)+exp(2iz)=2(exp(2iy)+exp(2iz))+2exp(i(y+z))=2exp(i(y+z))(1+2cos(y-z))=0

Source : Supermaths[---]Pierre Bornsztein

un passage au conjugué le tue en deux ligne...en effet;
(e^ix)+(e^iy)+(e^iz)=0 ==> (e^-ix)+(e^-iy)+(e^-iz)=0 ==> e^(i(x+y+z))* ((e^-ix)+(e^-iy)+(e^-iz))=0 ==> (e^i(x+z))+(e^i(y+x))+(e^i(z+y))=0...