Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011]

Exercice 1 :
Résoudre le système suivant, où x,y et z sont trois nombres réels.


Exercice 2 :
k est un nombre réel qui vérifie la propriété suivante:
" pour chaque trois nombres réels strictement positifs a,b et c, si alors ". Trouver la plus grande valeur de k.

Exercice 3 :
Soient x et alpha deux nombres réels tel que: .
Montrer que pour tout entier naturel n, .

Exercice 4 :
On considère un triangle ABC et son cercle circonscrit. D est un point de l'arc AB qui ne contient pas C, et A_1 et B_1 deux points qui appartiennent respectivement aux droites (DA) et (DB) tel que (CA_1) est perpendiculaire sur (DA) et (CB_1) est perpendiculaire sur (DB). Montrer que

pour le premier c'est: (4;2;4/3)

Le premier : S = {(4;2;4/3)}
Le deuxième: J'ai pas fait.
Le troisième: Une récurrence + Formule de trigonométrie.
Le quatrième: Al-Kashi + Pythagore + Triangle semblables.

salut a tous

le 1 exo x=4 y=2 et z=4/3
le 2 exo je pense que la grande valeur de k c'est sqrt(27)
le dernier exo A_1DB_1C rouba3i da2iri on fait la loi des sinus dans les triangle A_1DB_1 et ADB et on trouve la resulta

Svp donnez des réponses avec démonstrations la solution n est pas vraiment importante merci d avance!!

Solution au problème 1:
On pose a=x et b=2y et c=3z, le système devient:
.
On a:
.
.
Donc: x=2y=3z, et si on remplace dans la première équation, on trouve: x=4, donc: y=2 et z=4/3.
Et réciperoquement le triplet (4;2;4/3) vérifie le système, d'où l'ensemble des solutions:
.

Solution au problème 3:
On va utiliser une récurrence forte:

Pour n=0, on a: .
Donc la relation à démontrer est vraie pour n=0.
Pour n=1, on a: (D'après l'énoncé).
Donc la relation de récurrence est vérifiée pour n=1.
Soit n≥1, supposons que la relation à démontrer est vraie pour le rang n-1, et pour le rang n, et montrons qu'elle est aussi vraie pour le rang n+1, d'après l'hypothèse de la récurrence, on a: .
Et on a:





.
Donc la relation à démontrer est vraie pour le rang n+1, et la conclusion s'en suit.

Solution au problème 4:

On a: .
.
Donc le quadrilatère est inscriptible. D'où:
.
Et: .
Donc: .
Et, on a: , donc le triangle AA_1 est rectangle en A_1,
d'où: .
Avec égalité si l'angle CAD est droit.
Le résultat en découle...

Bon, pour le premier et le troisième, c'est banale, et le 3eme n'est pas même un exercice d'olympiades, à mon avis, le 4eme: c'était aussi facile, mais pas aussi trivial comme 1 et 3...
Malheureusement, j'ai fait 3/4 , j'ai perdu 1h avec le 2eme, mais en vain...

Sinon, qui a fait 4/4 ?

Merci ! Ali-mas

ali-mes a écrit:

on a:

l faut d'abord monter que

Réccurence forte

bonjour tout monde
اريد الشرح المفطل للتمرين الاول و التاني و التالت و الرابع بالعربية

Va chercher!

EXERCICE 2
Supposons que

on a ainsi avec IAG

maintenant on distingue 2 cas
si

chose qui satisfait les condition de l'énoncé (abc=<k)
maintenant si

si l'on prend a=b=c=k/3
il nous viens a+b+c=3
mais

cela contredit ce qui énoncé d'ou ce cas est impossible
ainsi max(k)=sqrt(27)

Salut tout le monde est ce que quelqu'un peut me dire quand est ce qu'on saura si on est qualifié ou pas suite aux deux devoirs de la première étape? Merci d'avance

Une autre idée pour faire le 3eme (sans l'utilisation de la récurrence) est de remarquer que cos(α)=1...

ali-mes a écrit:

Une autre idée pour faire le 3eme est de remarquer que cos(α)=1...

si x positf.

héhéhé wach ntoma 3ba9ira wla chno xDD dak tamrin Talt t9alt m3ah dar reccurence wakha haka mal9it o 4 machft fih 7ta choufa xD o dak 3 tkhibrt 3lihom b dakmo3dal twafo9i o tarabo3i o lhandassi o l7issabi ama lawal kandir nidma
a = x
b = 2y
c = 3z
kanl 9a (a-4)(c+1) + (c-4)(b+1) + (b-4)(a+1) = 0
o safi w7al tma
kholasat l9awl lmohim lmocharaka XD héhéhé

pour l'exercice 3 il faut faire la recurrence forte, la recurrence normal ne sert absolument a rien

konica a écrit:

Exercice 3 :
Soient x et alpha deux nombres réels tel que: .
Montrer que pour tout entier naturel n, .

* si x>0: on a x=1 et
* si x<0: on a x=-1 et ...

wéé exactement

si x>0 x + 1/x >= 2

<=> 2cos(a) >= 2 a=(alpha)
<=> cos(a) >= 1
=> cos(a)=1
x=1

..................

si x<0 x+ 1/x <= 2
...
walakin ghadin ndiro fassl l 7alat 3la n
1er cas : n est pair.
2eme cas : n est impair .

*youness* a écrit:

wéé exactement

si x>0 x + 1/x >= 2

<=> 2cos(a) >= 2 a=(alpha)
<=> cos(a) >= 1
=> cos(a)=1
x=1

..................

si x<0 x+ 1/x <= 2
...
walakin ghadin ndiro fassl l 7alat 3la n
1er cas : n est pair.
2eme cas : n est impair .

oui et on peut aussi utiliser la recurrence sans séparez les cas.

Quelqun Voudrais Bien expliqué la reponse de l'exo 1 et 3

moi j'ai pas compris solu exo

quand on aura la prochaine épreuve de l'olympiade

Moi j'ai fait juste le premier, et celui par récurrence j'avais hesité...
sinon pour le 2 et le 4, j'avais jamais fait ce genre d'exos...