Deuxième olympiade de première [3 décembre 2010]

Exercice 1 :
Montrer que :

Exercice 2 :
Calculer la somme : , où chaque trois signes + consécutifs sont suivis par deux -.

Exercice 3 :
Résoudre dans IR^3 le système suivant :


Exercice 4 :
Soit ABC un triangle d'aire 1 et P le milieu du côté [BC]. M et N sont deux points de [AB] - {A,B} et [AC]-{A,C} respectivement tels que AM=2MB et CN=2AN.
Les droites (AP) et (MN) se coupent en un point D.
Trouver l'aire du triangle ADN.

la somme m'a donné 401799 c bien ca ?

et pour le systeme c'est S={(1;1;1)}

pour la géo g trouvé Surface de ADN est 2/9 vs confirmez ? ^^'

slt pour l'exercice 2
jai trouve 2002
lexercice 3 x=y=z=1
lexercice 4 1/12

Dijkschneier a écrit:

Exercice 1 :
Montrer que :

Exercice 2 :
Calculer la somme : , où chaque trois signes + consécutifs sont suivis par deux -.

Exercice 3 :
Résoudre dans IR^3 le système suivant :


Exercice 4 :
Soit ABC un triangle d'aire 1 et P le milieu du côté [BC]. M et N sont deux points de [AB] - {A,B} et [AC]-{A,C} respectivement tels que AM=2MB et CN=2AN.
Les droites (AP) et (MN) se coupent en un point D.
Trouver l'aire du triangle ADN.

Il manque un -5 dans la somme. Sinon, nous avons eu en Terminale le 2e et le 4e exercice.

Dijkschneier quelles sont tes reponses s'il te plait
je veux me rassurer

pour la somme j'ai trouvé 402 766
pour le systéme x=y=z=1

j'ai pas fait les autres exos

bizarre g trouvé S(ADN) = 2/9 et S = 401799

Solution au problème 1 :
Soit
D'une part :

Et d'autre part :

Solution au problème 2 :


Solution au problème 3 :
Soit (x,y,z) un triplet solution.
Alors trivialement : x,y,z >= 1.
De plus, en élevant au carré chacune des égalités du système, on obtient :

D'où en sommant : .
Par suite :
Or on a x,y,z >=1, donc x+y+z >=3, avec égalité si et seulement si x=y=z=1.
On est justement dans le cas d'égalité, donc x=y=z=1.
Inversement, le triplet (1,1,1) est bien une solution.
Synthèse :
La seule solution du système est le triplet (1,1,1).

meme maniere meme route meme reponse

SOlution au probléme 2

On sait que n+(n+1)+(n+2)-n-3=2n
donc S= 1+2+3-4-5+6+7+8-9-10+..........-2010
= 2*1-5+2*6-10+2*11....................-2010
=-(5+10+15+20+25+30+35.......2010)+2(1+6+11.......2008)
=-402(5+2010)/2+2*402(1+2008)/2
=402 766

je comprend pas quelqu'un peu m'indiquer mon erreur merci

+2006 je pense po +2008 ^^

Bonjour tout le monde :
J'ai fait le 1,2,3 le 4 mais probablement faux
exercice 1) :
a somme équivaut à 2010+1/2-1/2010-1/2011 ce qui est clairement compris entre 2010 et 2010+1/2
exercice 2) :
Meme démarche de Djikschneier jé trouvé S=401799
exercice 3) : S= {(1;1;1)}
exercice 4) : jé trouvé S(ADN)=11/27

mé pourqoui la surface que g trouvée c'est 2/9 -___-

j'ai fais 2,5... le 2 et le 3 (et la 1ère partie du 1 xD) [que j'ai fais aux 1ére 60 minutes xD]. pour la géo j'ai estimé qu'on devrai utilisé une de ces inégalité hors programme alors je ne me suis pas trop cassé la tête avec , mais apparement c'était juste avec thales -__-


ma méthode pour le 2éme exercice:

On sait que:

x+(x+1) - (x+3) - (x+4) = -6

donc:

1+ (1+1) -(1+3) -(1+4)=-6

6+(6+1) - (6+3) - (6+4) = -6

etc...

2006+(2006+1) - (2006+3) - (2006+4) = -6

On fait la somme de ces équations alors on trouve:

S - 3 -8 -13 - ... -2008 = (-6)*2010/5

(3 + 2008) + (8 + 2003) + ... + (1003+1008) = 2011*2010/10

donc: S= (-6)*2010/5 + 2011*2010/10= 401799


Pour l'exercice 3, on fait le carré des 3 équations et puis leur somme et on trouve que:
x+y+z=3

on sait que rac(x^2 - y) >=0 donc: z -1 >=0

càd: z>=1
de même on trouve que x>=1 et y >=1

alors: x+y+z>=3

d'où on peut déduire que x=y=z=1

quelqu'un svp pourrait poser la solution de la surface svp ^^'

ah !! cé vrééé jé po fé attention :'( mercii

Il suffit pour le premier problème de remarquer que :

Donc :

Il suffit de déduire maintenant...
Au plaisir !

L'exo 2 et 4 sont les même que ceux des bacs .
Votre premier exo est assez facile .
le deuxième je l'est fait vraiiiiment fastoche , le troisième pas trop corcer à ce qui me parraît
l'exo 4 la surface est 2/27 la solution est à la portée je pense , n'empêche que c'est pas très facil

pour exo 1
c'es facille
pour exo2
S = 401799
pour exo3
x=y=z=1
pou exo 4 2/9

Pour exo 4 2 / 27 j'en suis plus que sûr vu que moi est un ami avons eu le même résultat de deux manières différentes

@darkpseudo : merci d'organiser un tel sujet dans la section terminal.

J'ai fais 1,2,3 puis j'ai tenté ma chance au 4éme ..

1/ Façile par simplification, (n²+1)/(n²-1)=1+2/(n²-1)=1+1/(n-1) - 1/(n+1)
2/ J'ai posé n=1 , puis remarquer que:

S= 1 + (2) + (3-4-5+6) + (7) + (8-9-10+11) + ... -2009-2010+2011-2011
S= (n-2011) + (n+1) + 0 + (n+1+5) + 0 + (n+1+5*2) + ... + (n+1+5*401)
S= -2010 + (n+1)*402 + 5*(1+2+3+...+401)
S= -2010 + 2*402 + 5*(401*402)/2
S=401799

3/ x>=1, y>=1 , z>=1 aprés elever au carré et sommer l'équation (1) avec (2) , puis remplacer -x qui est au troisiéme équation du systéme par sa valeur on aura x+y+z=3 ==> x²=y , y²=z z²=x directement: x=y=z=1

4/ S(ADN)=2/27 .

c'est le même exo , et merci de ne pas parlé pour parler , je continu à soutenir que S = 2/27 vu que là on est trois a avoir eu le même résultat que les chance qu'on ce soit tout les trois tromper et eu la même faute sont quasi-nul