Deuxième olympiade de première [3 décembre 2010]

et ce soit aussi 3 qui ont trouvé 2/9 D:

pourrais tu relire l'exercice? c'est possible qu'il y soit une petite différence^^

Les amis j'ai eu un petit aperçu des olympiades, et sincèrement la plupart des ses exercices sont inspirée du célèbre crux mathematicorum. Aparement les exercices 3 et 4 sont préparé par 2 russe d'après ce qu'on ma dit ?

Merci

Bonne chance à ceux qui seront pris dans les prochaines étapes.

Mayback

ex2: S=401799
ex3: x=y=z=1

Hamouda a écrit:

et ce soit aussi 3 qui ont trouvé 2/9 D:

pourrais tu relire l'exercice? c'est possible qu'il y soit une petite différence^^

Merci de proposer une solution bien rédigée plutôt que de débattre sur les valeurs.

Dijkschneier a écrit:

Solution au problème 1 :
Soit
D'une part :

Et d'autre part :
Solution au problème 2 :

Solution au problème 3 :
Soit (x,y,z) un triplet solution.
Alors trivialement : x,y,z >= 1.
De plus, en élevant au carré chacune des égalités du système, on obtient :

D'où en sommant : .
Par suite :
Or on a x,y,z >=1, donc x+y+z >=3, avec égalité si et seulement si x=y=z=1.
On est justement dans le cas d'égalité, donc x=y=z=1.
Inversement, le triplet (1,1,1) est bien une solution.
Synthèse :
La seule solution du système est le triplet (1,1,1).

Tout cela est d'une extrême beauté.
Même résultats.
Mais combien as-tu trouvé en géométrie?

@nmo : J'ai passé par un calcul analytique en essayant de calculer la surface à l'aide du déterminant de deux vecteurs, et je crois m'être trompé dans les calculs.

Dijkschneier a écrit:

@nmo : J'ai passé par un calcul analytique en essayant de calculer la surface à l'aide du déterminant de deux vecteurs, et je crois m'être trompé dans les calculs.

J'ai suivi la même démarche.
Je trouve à la fin 1/27.
Et toi.

@nmo : Je n'ai pas donné un résultat numérique sur le papier. Je reprend ça maintenant.

C'est quoi ça c'est vrai que on a 2 exos comme les 2emes SM ???
Ca veut dire quoiii xD !!

j'ai fait le 2ème S = 401 799
et le 3ème S= {(1;1;1)}
en effet c'est pas trop je n'avait pas appris les formules géométriques pour le 3ème x') le 1er j'ai pas vraiment compris :d

Dijkschneier a écrit:

@nmo : Je n'ai pas donné un résultat numérique sur le papier. Je reprend ça maintenant.

Grosso modo, tu trouves AD=4/9AP.
Et puis, il est clair que AN=1/3AC.
On a S(ADN)=1/2.AD.AN.sin(DAN).
Donc S(ADN)=1/2.4/9AP.1/3AC.sin(PAC).
Donc S(ADN)=2/27.S(PAC).
Donc S(ADN)=2/27.1/2.
Donc S(ADN)=1/27.
J'écris la solution détaillée plus tard.

darkpseudo a écrit:

c'est le même exo , et merci de ne pas parlé pour parler , je continu à soutenir que S = 2/27 vu que là on est trois a avoir eu le même résultat que les chance qu'on ce soit tout les trois tromper et eu la même faute sont quasi-nul

Oui Darkpseudo
Ca va étre 2/27 selon çe que j'ai fais (mais incomplet) c'est sure maintenant

M.Marjani a écrit:

darkpseudo a écrit:

c'est le même exo , et merci de ne pas parlé pour parler , je continu à soutenir que S = 2/27 vu que là on est trois a avoir eu le même résultat que les chance qu'on ce soit tout les trois tromper et eu la même faute sont quasi-nul

Oui Darkpseudi
Ca va étre 2/27 selon çe que j'ai fais (mais incomplet) c'est sure maintenant

Je suis sûr et certain que ce serait 1/27!!!
Au plaisir.

Mehdi.O a écrit:

C'est quoi ça c'est vrai que on a 2 exos comme les 2emes SM ???
Ca veut dire quoiii xD !!

Oui, comme l'année dernière si je me rappelle bien !
En fait , c'est pour voir s'il y a des élèves en Première prêts à participer dès maintenant dans les IMO
Mais vraiment , le notre était facile , surtout les deux premiers exercices !
Bonne chance .

nmo a écrit:

Grosso modo, tu trouves AD=4/9AP.

Ce rapport me semble difficile à déterminer. Sitôt que dans un calcul analytique (sans usage des nombres complexes) on parle de distance, tout devient pourri.
Ce n'est pas exactement ce que j'ai fait.
Voici le schéma de ma démonstration :
La notation entre crochets réfère comme d'habitude aux aires.
On considère un repère orthonormé centré sur C tel que C(0,0) et B(1,0) et A(xA, yA)
[ABC] = 1 <=> det(CB, CA) = 2
<=> yA = -2
Nos points donc donc : C(0,0), B(1,0) et A(xA, -2)
N est un barycentre des deux points A et C. On déduit ses coordonnées.
M est un barycentre de A et B. On déduit ses coordonnées.
P est le milieu de [CB]. On déduit ses coordonnées.
On détermine l'équation de la droite (MN).
On détermine l'équation de la droite (AP).
D est le point d'intersection de (MN) et de (AP). On déduit ses coordonnées.
Par suite : [ADN] = 1/2 det(ND, NA) = ...
Et on s'attend à ce que les calculs se simplifient afin d'avoir une valeur numérique.

Dijkschneier a écrit:

nmo a écrit:

Grosso modo, tu trouves AD=4/9AP.

Ce rapport me semble difficile à déterminer. Sitôt que dans un calcul analytique (sans usage des nombres complexes) on parle de distance, tout devient pourri.
Ce n'est pas exactement que j'ai fait.
Voici le schéma de ma démonstration :
La notation entre crochets réfère comme d'habitude aux aires.
On considère un repère orthonormé centré sur C tel que C(0,0) et B(1,0) et A(xA, yA)
[ABC] = 1 <=> det(CP, CA) = 2
<=> yA = -2
Nos points donc donc : C(0,0), B(1,0) et A(xA, -2)
N est un barycentre des deux points A et C. On déduit ses coordonnées.
M est un barycentre de A et B. On déduit ses coordonnées.
P est le milieu de [CB]. On déduit ses coordonnées.
On détermine l'équation de la droite (MN).
On détermine l'équation de la droite (AP).
D est le point d'intersection de (MN) et de (AP). On déduit ses coordonnées.
Par suite : [ADN] = 1/2 det(ND, NA) = ...
Et on s'attend à ce que les calculs se simplifient afin d'avoir une valeur numérique.

Pourquoi ne pas faire A(0,1).

@nmo : cela nuirait à la généralité du problème. J'ai déjà supposé que xB = 1.

j ai po bien compris la solution du 4eme exercices est ce quelqu un peut me l expliquer ??

Dijkschneier a écrit:

@nmo : cela nuirait à la généralité du problème. J'ai déjà supposé que xB = 1.

Je ne suis pas de votre avis, j'ai recourt au calcul analytique sauf que pour trouver l'endroit de D sur [AP).
Lorsque cela est fait, j'ai passé à ce que j'ai écrit en haut.

le derniere exo :
j'ai trouvé 4/27

salut tous , voila ce ke jai trouvé ben:
exrcice1) po peine de demontrer car c deja fai
exercice2) 401799
exercice3) x=y=z=1
exercice4) jai trouvé bien ke 1/18<S(ADN)<1/6

pour S(ADN)

je trouve surement que S(ADN)=1/9

.

nmo a écrit:

Dijkschneier a écrit:

@nmo : Je n'ai pas donné un résultat numérique sur le papier. Je reprend ça maintenant.

Grosso modo, tu trouves AD=4/9AP.
Et puis, il est clair que AN=1/3AC.
On a S(ADN)=1/2.AD.AN.sin(DAN).
Donc S(ADN)=1/2.4/9AP.1/3AC.sin(PAC).
Donc S(ADN)=2/27.S(PAC).
Donc S(ADN)=2/27.1/2.
Donc S(ADN)=1/27.
J'écris la solution détaillée plus tard.

Voiçi ta petite faute d'innatention nmo (en bleu). Tu dois faire plutot (1/2*AP*AC) * (4/9* 1/3)=S(APC)*4/27=2/27.
O peut trouver AD=(4/9)AP d'une autre maniére sans recours au geométrie analytique à ce que je vois.

pour le quatriéme exercice : S(XYZ) = la surface du triangle XYZ
il est clair que S(APC)=S(APB)=1/2
et on a : S(AMN)= 1/2 *AM*AN*sin  = 2/9 S(ABC)=2/9
et :
S(APM)=1/2AP.AM sinBAP=S(APB)*AM/AB=1/3
S(APN)=1/2.AP.AN.sinBAC=S(APC)*AN/AC=1/6
et on a :
S(AND)=1/2.AN*AD.sinPAC=S(APN)*AD/AP=1/6 *AD/AP
S(AMD)=1/2 AM*AD sinPAC =S(APM)*AD/AP=1/3*AD/AP
donc : S(AMD)=2S(AND) et on a : S(AMD)+S(AND)=S(AMN)=2/9 alors S(ADN)=2/27

a ben moi j'ai entendu que les vrais solutions sont :
pour le deuxieme 401799
pour le troisieme 1,1,1
pour le quatrieme Sadn=2/27
et personnelment jai fait une petite gaffe dans la question n)1 parceque jai cru que le total des extremes (del 7oudoud) etait 2008 et qu'il est en realite 2009