Olympiade de première, deuxième étape, premier test:

Je vous propose le test passé aujourd'hui (le 22 Février 2013):
Exercice1: (MAR MC)
Soient , et trois nombres réels vérifiant: .
Trouver , et .
Exercice2: (MAR MC)
Trouver toutes les fonctions polynomiales vérifiant .
Exercice3: (MAR MC)
Soient et deux réels positifs; Montrer que
Exercice4: (BLR MC)
Soit un quadrilatère inscriptible (inscrit dans un cercle) tel que .
Montrer que .
Bonne chance.
N.B: Trois exercices créés par la délégation marocaine...

s'il vous plait c pour quand Les Tronc commun (Seconde)!!

nmo a écrit:

Exercice3: (MAR MC)
Soient et deux réels positifs; Montrer que .

L'inégalité à démontrer s'écrit .
On simplifie par qui dérange à première vue, on trouve .
Ce qui s'écrit encore .
Qui n'est que l'inégalité arithmético-géométrique...
Sauf erreurs!

3afakoum 4??

nmo a écrit:

Exercice4: (BLR MC)
Soit un quadrilatère inscriptible (inscrit dans un cercle) tel que .
Montrer que .

Soit l'intersection des deux diagonales de ce quadrilatère.
On a et .
Donc les deux triangles et sont semblables, d'où: .==>(*)
On pose désormais: , , et .
L'inégalité à démontrer s'écrit: , ou encore selon *.
Soit , ou encore .==>(**)
D'un autre coté, on a , soit .
Avec les notation introduite, ça devient , en utilisant encore *.
Ce qui donne: , ou bien .
Ce qui achève la démonstration.
Sauf erreurs!

nmo a écrit:

nmo a écrit:

Exercice4: (BLR MC)
Soit un quadrilatère inscriptible (inscrit dans un cercle) tel que .
Montrer que .

Soit l'intersection des deux diagonales de ce quadrilatère.
On a et .
Donc les deux triangles et sont semblables, d'où: .==>(*)
On pose désormais: , , et .
L'inégalité à démontrer s'écrit: , ou encore selon *.
Soit , ou encore .==>(**)
D'un autre coté, on a , soit .
Avec les notation introduite, ça devient , en utilisant encore *.
Ce qui donne: , ou bien .
Ce qui achève la démonstration.
Sauf erreurs!

merci !

nmo a écrit:

Exercice2: (MAR MC)
Trouver toutes les fonctions polynomiales vérifiant .

On introduit le polynôme défini par: .
On a .
Donc .
Il s'ensuit que est constante; i.e: .
Finalement: avec c un réel connu.
Sauf erreurs!

.

Mr Seledeur pourquoi exactement x²,alors il suffit de conjecturer que P(x)=x² est Une solution et ensuite essayer si
on ajoute une constante est ce que ça serai aussi une solution . c'est à dire voir que P(x)=x²+c
est une solution . d'ou vient l'idée de Mr nmo

seledeur a écrit:

J'ai montré que P est paire xD, j'aurai qq chose ?

Je crois que tu vas avoir un Zéro Zeroualien-Mat3échien-bourichien .
Amicalement .

alidos a écrit:

il suffit de conjecturer que P(x)=x² est Une solution et ensuite essayer si
on ajoute une constante est ce que ça serai aussi une solution . c'est à dire voir que P(x)=x²+c
Amicalement .

C'est faux comme démarche.

aLalalalalalalalala ..... a Mr Radouane_BNE
c'est pas une démarche Mr Radouane , c'est un passage pensif pour tracer le chemin
auquel on va attaquer l'exercice .

a partir de là on peut suivre la démarche de Mr nmo
j'ai voulu que expliquer a Mr seledeur ce qui nous a poussé pour prendre
Q(x)=P(x)-x² .

D'accord, il y'a juste un petit passage à montrer, si P polynome verifiant P(x+1)=P(x) pour tout x, alors P est constant.

On pose Q(X) = P(X) - P(0) alors Q(X+1) = P(X+1) - P(0) = P(X) - P(0) = Q(X)

De plus Q(0) = 0 donc Q(1) = 0 = Q(2) = Q(3)

Conjecture : Q(n) = 0

Soit P(n) la propriété " n , Q(n) = 0 "

* P(0) évident

* Soit n € N, supposons P(n) et montrons P(n+1) :

Q(n+1) = P(n+1) - P(0) = P(n) - P(0) = Q(n) = 0 donc P(n+1) vrai

Par récurrence, on déduit que pour n€N, Q(n) = 0

Donc Q admet une infinité de racine donc il est nul donc P(X) = P(0) ie. P constant

Humber a écrit:

Exercice 1 :

CE PASSAGE : il y a un probléme verifier M. humber

Pour le 1ier exercice, on prend x=a/12, y=2*b/12 et z=3*c/12, le problème devient ainsi :

x+y+z=1,
xy+yz+zx=1/3,

Or on sait que 1=(x+y+z)^2=(x^2+y^2+z^2)+2*(xy+yz+zx) =>3(xy+yz+zx)=3, ce qui implique puisqu'on a égalité que x=y=z=1/3, finalement a=4,b=2 et c=4/3.

radouane_BNE a écrit:

D'accord, il y'a juste un petit passage à montrer, si P polynome verifiant P(x+1)=P(x) pour tout x, alors P est constant.

On pose Q(X) = P(X) - P(0) alors Q(X+1) = P(X+1) - P(0) = P(X) - P(0) = Q(X)

De plus Q(0) = 0 donc Q(1) = 0 = Q(2) = Q(3)

Conjecture : Q(n) = 0

Soit P(n) la propriété " n , Q(n) = 0 "

* P(0) évident

* Soit n € N, supposons P(n) et montrons P(n+1) :

Q(n+1) = P(n+1) - P(0) = P(n) - P(0) = Q(n) = 0 donc P(n+1) vrai

Par récurrence, on déduit que pour n€N, Q(n) = 0

Donc Q admet une infinité de racine donc il est nul donc P(X) = P(0) ie. P constant

Effectivement Mr Radouane ,vu à la sévérité de la correction à qui j'ai assister au stage de rabat ,il faut absolument prouver ce passage pour souhaiter avoir les points complets de l'exercice .

Pour le 2iem exercice, on pose a=x^2 et b=y^2. En divisant par 2 on se ramène après simplification à :

x^3-xy(x+y)+y^3 > 2(x-y)sqrt(x+y)-1, or x^3-xy(x+y)+y^3=(x+y)(x-y)^2, ainsi l'inégalité est équivalente à :

((x-y)*sqrt(x+y)-1)^2 >=0, ce qui est évidemment vrai.

k.abdo a écrit:

Humber a écrit:

Exercice 1 :

CE PASSAGE : il y a un probléme verifier M. humber

Comment ?

.

nmo a écrit:

nmo a écrit:

Exercice4: (BLR MC)
Soit un quadrilatère inscriptible (inscrit dans un cercle) tel que .
Montrer que .

Soit l'intersection des deux diagonales de ce quadrilatère.
On a et .
Donc les deux triangles et sont semblables, d'où: .==>(*)
On pose désormais: , , et .
L'inégalité à démontrer s'écrit: , ou encore selon *.
Soit , ou encore .==>(**)
D'un autre coté, on a , soit .
Avec les notation introduite, ça devient , en utilisant encore *.
Ce qui donne: , ou bien .
Ce qui achève la démonstration.
Sauf erreurs!

L"équivalence que vous avez faites est fausse à ce que je vois, pourriez vous réviser ce qui est en rouge ?

comment tu trouve l'éqoition :
(a-2b)²+(b-3c)²+(3c-a)²=0 ???? Mr humber

k.abdo a écrit:

comment tu trouve l'éqoition :
(a-2b)²+(b-3c)²+(3c-a)²=0 ???? Mr humber

a²+4b²+9b²=2ab+3bc+6ac

Humber a écrit:

nmo a écrit:

nmo a écrit:

Exercice4: (BLR MC)
Soit un quadrilatère inscriptible (inscrit dans un cercle) tel que .
Montrer que .

Soit l'intersection des deux diagonales de ce quadrilatère.
On a et .
Donc les deux triangles et sont semblables, d'où: .==>(*)
On pose désormais: , , et .
L'inégalité à démontrer s'écrit: , ou encore selon *.
Soit , ou encore .==>(**)
D'un autre coté, on a , soit .
Avec les notation introduite, ça devient , en utilisant encore *.
Ce qui donne: , ou bien .
Ce qui achève la démonstration.
Sauf erreurs!

L"équivalence que vous avez faites est fausse à ce que je vois, pourriez vous réviser ce qui est en rouge ?

J'ai corrigé ma réponse!
C'était une faute d'inattention...

ok c'est ça bien ..