un problem d'analyse tres interessant

Pouvez m'aider sur cet exercice et merci d'avance.

EX 1:
Soient a et b deux nombres réels tels que a < b et f une fonction definie et bornée sur [a;b].
Pour tout x de [a;b] on definit la fonction M par
M(x) = sup(f)
a<=t<=x
f(t)
Montrer que si f est continue en un point x0 de [a;b] et si f(x0) < M(x0) alors il existe un intervalle
ouvert non vide ]c;d[ contenant x0 sur lequel la fonction M est constante.

f(x0)<M(x0)-->il existe x1<x0 tel que M(x0)=f(x1).
tu prends c=x1 et d=x0.