inégalité triangulaire

prouver que si ABC un triangle:
9R²>=a²+b²+c² (R: le centre du cercle circonscrit)

Salut,

Soit O le centre du cercle circonscrit à ABC, et soit R son rayon.
Soit H l'orthocentre du triangle ABC.

Par définition, on a : OH=OA+OB+OC

Donc OH.OH=OH²=OA²+OB²+OC²+2OA.OB+2OB.OC+2OA.OC

Or, (OB-OA)²=OB²+OA²-2OB.OA soit AB²=OB²+OA²-2OB.OA soit 2OB.OA=OB²+OA²-AB²

En permutant les lettres, on trouve : 2OB.OC=OB²+OC²-BC² et 2OA.OC=OA²+OC²-AC²

Au final, on obtient : OH²=3(OA²+OB²+OC²)-AB²-BC²-AC²=9R²-a²-b²-c²

Or, OH² >= 0 implique 9R² >= a²+b²+c²

Sauf erreurs.

Merci pour l'exo

diablo902 a écrit:

prouver que si ABC un triangle:
9R²>=a²+b²+c² (R: le centre du cercle circonscrit)

Je propose une methode différente:
On pose , et .
Et AB=c, BC=a et CA=b.
On a selon la loi des sinus: .
Donc .
Et ainsi .
Ou bien .
L'inégalité à démontrer devient .
Ou bien .
Ce qui est vrai d'après l'inégalité de la convexité (de Jensen) (appliqué sur la fonction sur l'intervalle [].