Petit simple exercice.

Soit a et b de Z*.
P.Q si PGCD(a,b)=1 et PGCD (a,c)=d alors PGCD(a,bc)=d.

Bonjour YIRA.

PGCD(a,b)=1 et PGCD(a,c)=d
Il existe donc u,v,w et x dans Z tels que au+bv=1 et (a/d).w+(c/d).x=1 .
En faisant "le produit" des deux égalités précédentes , on obtient:
(a/d).(auw+cux+bvw) + (bc/d).(vx)=1
Donc PGCD(a/d , bc/d)=1.
Donc d.PGCD(a/d ,bc/d)=d ; soit PGCD(a , bc)=d.

Une autre méthode pour cela, on pose d'=pgcd(a,bc) :
on a : d'|bc et d'|a|ac donc d'|pgcd(ac,bc)=c et donc d'|d, réciproquement d|a et d|c|bc donc d|d' d'où d=d'.