Trouve L'intru

Bonsoir,

Voila un exo qui a l'air facile du premier cout mais c'est plutot difficile de l'exprimer mathematiquement !!!


Amusez vous !!!

J'ai resolu la 1ere partie !! mais j'ai aucune idée comment attaquer la 2eme !! Quelqu'un peut aider ?

Voila ma solution pour la 1ere partie :
(DSL j'ai pas eu assez de temps pour taper)

je ne vois pas de contradiction .
6=0 [3] pourtant 5 est impair et 2 est pair , n'oublie pas que p(p-3) = 0 dans ton cas .
Je propose une autre méthode pour faire cette question ( je te laisse chercher des pistes pour corriger la tienne ) ; alors toujours avec la suite définie par u(n)=n(n-1)/2 +1 mod p
Si on suppose que tout les éléments sont atteints alors vu que 2 est inversible la suite définie par u(n)=n(n-1) atteint tout les éléments aussi d’où pour tout k de [|1..p|] le polynôme
P(X)=X(X-1)-k admet une racine mod p son déterminant 1+4k doit être un carré parfait mod p pour tout k ( c'est trivialement une condition suffisante , et on vois assez bien qu'elle est aussi nécessaire ) , or si p=3[4] on sait que -1 n'est pas un carré en prenant k=-2^(p-2) on voit bien qu'on a un problème , de même si p=1[4] on peut trouver un contre exemple en distinguant certains cas .
Autre méthode plus direct je trouve : on remarquant que si X est racine alors 1-X est aussi racine donc on a au plus (p+1)/2 éléments atteints ( il suffit d'écrire les restes sous la forme 0,-1,-2...,1-(p-1)/2,1,2...(p-1)/2 , (p+1)/2) . Sauf erreur .

Merci pour ta réponse, mais j'ai pas compris comment tu as fait le passage de la suite Un= n(n-1)/2 + 1 , au pôlynome P(x) = X(X-1)-k !! je n'arrive pas à voir le lien. Sinon, t'aura pas une idée pour aborder la seconde question?? j'y bloque depuis quelques jours !

Au fait je dis que si le polnyome definie par P(x)=x(x-1)/2 +1 atteint tout les elements alors le polynome Q(x)=2P(x)-2 atteint tout les elements aussi et c'est car 2 est inversible mod P .

aaa ok je vois !
Personne n'a une idée pour la dexieme ?

Je continue , remarquons que tout les éléments atteints vont l'être deux fois , sauf 1 qui est celui atteint par p*(p+1)/2 car modulo p on a p*(p+1)/2=1-p*(p+1)/2 ; de plus on a U(p*(p+1)/2)=7/8 mod p ( 1/8 est l'inverse modulaire de 8 ) du coup maintenant on sais que :
pour p membre on a p(p+1)/2 qui ont au moins un cookie , permis eux pour un tour ( cad quand on crie entre kp+1 et (k+1)p ) tout ces gens prennent 2 cookies , sauf une personne qui prend 1 , la réponse au (b) est donc non et au (c) oui .

Merci pour ta reponse,
Est ce qu'en disant que 4k+1 doit être un carré parfait mod p tu veux dire qu'il doit être un résidus quadratique?
càd il faut montrer qu'il existe un m tq : 4k+1 = m² modp ? au même temps pour le contre exemple, est ce que k n'est pas sensé être entre 1 et p ? (càd un entier )

Oui c'est ça , mais de toute façon la deuxième méthode est beaucoup plus simple .
Et puis prendre k ou prendre son reste mod p c'est la même chose .