arithmetique

1- Montrer que 1981 et 1815 sont premiers entre eux
2-resoudre dans Z² l'equation : 1981x + 1815y = 1
3-resoudre dans Z/1981Z l'equation bar{1815}*bar{x} = bar{1}
4-resoudre dans Z/1981Z l'equation bar{1815}*bar{x} + bar{1515} = bar{732}

Salut,

1)

1981 = 1815 * 1 + 166
1815 = 166 * 10 + 155
166 = 155 * 1 + 11
155 = 11 * 14 + 1
11 = 11 * 1 + 0

Donc pgcd(1981 ; 1815) = 1 donc 1981 et 1815 sont premiers entre eux.

2)

1 = 155 - 14 * 11 = 155 - 14 * (166 - 155) = 15 * 155 - 14 * 166 = 15 * (1815 - 166 * 10) -14 * 166 = 15 * 1815 - 164 * 166 = 15 * 1815 - 164 * (1981 - 1815) = - 164 * 1981 + 179 * 1815

Donc (x,y) = (-164 , 179)

Rédemption a écrit:

Salut,

1)

1981 = 1815 * 1 + 166
1815 = 166 * 10 + 155
166 = 155 * 1 + 11
155 = 11 * 14 + 1
11 = 11 * 1 + 0

Donc pgcd(1981 ; 1815) = 1 donc 1981 et 1815 sont premiers entre eux.

2)

1 = 155 - 14 * 11 = 155 - 14 * (166 - 155) = 15 * 155 - 14 * 166 = 15 * (1815 - 166 * 10) -14 * 166 = 15 * 1815 - 164 * 166 = 15 * 1815 - 164 * (1981 - 1815) = - 164 * 1981 + 179 * 1815

Donc (x,y) = (-164 , 179)

Pour la deuxieme question l'algoritme d'euclide (inversé) te permet de donner une solution particuliere il ne prouve po que cette solution est unique
Amicalement

Merci pour ta réponse, je vais continuer à réfléchir ! et merci pour l'exo

Salut : ))

Je trouve comme solutions les couples (x,y) = (-1815k-164 , 1981k+179) avec k entier relatif

Notons 1981x+1815y = 1 (1) et 1981*(-164)+1915*179 = 1 (2)

(1)-(2) donne 1981(x+164) = -1815(y-179) (3) ; on en déduit que 1981 divise y-179

Comme pgcd(1981,1815) = 1, alors d'après le théorème de Gauss, on obtient que 1981 divise y-179 ; ainsi, il existe k entier relatif tel que y = 1981k+179

En remplaçant y dans (3), on trouve que x = -1815k - 164

Réciproquement, on vérifie que le couple (x,y) trouvé vérifie bien (1)

Saufs erreurs.

A+