exo suites !! (difficile)

soit b>1 et la suite reelle (Un) definie par recurence a partir de Uo=a (a>0) par : Un+1=a+((1-b^(-n))/2)Un pour tt n de N

1-montrer que la suite Un est bornée ,qu'elle est croissante et trouver sa limite .

2- On considere ensuite une suite (Vn) qui verifie pour tout n de N : Vn+1<=a+((1-b^(-n))/2)Vn.

a-MQ Vn<=Un pour tt n de N*.

b- MQ la suite (Vn) est majoree mais qu'elle n est pas necesserement convergente.

Salut,

Pour montrer qu'elle est bornée, on s'en sort bien avec une récurrence.
On remarque de plus que b>1 implique 1/b < 1 soit (1/b)^n < 1 soit b^(-n) < 1

J'ai du mal à montrer qu'elle est croissante.

Etant donné qu'elle est croissante et majorée, elle est donc convergente.

On a u(n+1) = a + 1/2(1+b^(-n)) u(n) = a + 1/2 u(n) + 1/2 b^(-n) u(n)

Or, lim ( 1/2 b^(-n) u(n) ) = 0 quand n tend vers l'infini, car u(n) est bornée et 1/2 b^(-n) tend vers 0

En notant l = lim u(n) , alors on a : l = a + 1/2 l soit l = 2a donc lim u(n) = 2a

mercii qd meme moi ausii j ai trouvé la limite mais ss pouvoir montrer qu'elle est bornée croissante :/

Pour montrer qu'elle est bornée, tu peux faire une récurrence.
La 2)a) une récurrence va bien aussi.
J'ai pas encore réfléchi à la dernière question.

ok c b1 pour la 2a) je l'ai montré par recu mais qu'elle est bornee j arrive pas

Pour montrer qu'elle est bornée :

Notons P(n) la proposition : |u(n)| \le M où M est un réel positif.

Initialisation : u(0)=a <= a

Hérédité : supposons P(n) vraie pour n >= 1

Soit n >= 1 , on a :

|u(n+1)| = |a+1/2 (1-b^(-n))u(n)|

<= a + 1/2 |1-b^(-n)| |u(n)| car a > 0
<= a + 1/2 (1+b^(-n)) |u(n)| car b > 1 (on utilise l'inégalité triangulaire)
<= a + 1/2 (1+b^(-n)) M avec l'hypothèse de récurrence
<= a+ 1/2 M + 1/2 b^(-n)
<= a + 1/2 M + 1/2 M = a + M car b^(-n) < 1

Par récurrence, (u(n)) est bornée.

J'ai réussi à montrer qu'elle est croissante par récurrence, et les autres questions c'est bon aussi, sauf celle où l'on doit montrer que la suite (v(n)) n'est pas nécessairement convergente. J'ai pensé aux suites adjacentes, mais rien qui me convainque.

Si tu veux que je poste ce que j'ai trouvé, pas de souci \o/

a+

A+

mercii bcp redemption ! il me reste aussi seulement la derniere question de la convergence

Vn = -(n+1)a
Vn+1 = Vn-a <= Vn+a <= Vn (1-b^(-n))/2 +a (puisque Vn <0 pr tt n)

et Vn diverge
a+

Salut stof !
Est-ce que tu peux m'expliquer un peu plus pour la dernière question ?
Merci

Bonjour ,

je note c=1/b

i- on commence par montrer par récurrence que pour tout n£IN on a , a =< u_n =< 2a/(1+c^n) et donc (u_n) bornée

ii- à partir de là on a clairement pour tout n£IN , u_n+1 -u_n = a - (1+c^n)u_n/2 >= 0 et donc (u_n) croissante

iii- et comme elle est majorée par 2a elle converge

iv- sa limite l doit vérifier par passage à la limite dans (ii) , a - l/2 = 0 et donc l = 2a sauf erreur bien entendu