Exercice !!!!!

Dans un groupe de 17 personnes chaque couple de personnes s'échange du courrier sur un seul thème de réflexion (thème à choisir parmi 3 thèmes possibles). Montrer qu'il existe au moins 3 personnes qui s'échangent du courrier sur un même thème de réflexion.



wa broblim a 3shiréé

bin personne !!!!!!!!!!!!!!!
Alors je propose La solution :


On va encore utiliser le principe des tiroirs . Considérons une personne quelconque notée P0 : elle échange du courrier avec les 16 autres. Comme 3*5 < 16, P0 va échanger du courrier plus de 5 fois sur un même thème de réflexion, c'est-à-dire P0 écrit au moins à 6 autres personnes (P1,P2,...P6) sur un même thème de réflexion noté T 1 (sinon P0 échangerait du courrier sur le thème T1 avec au plus 5 personnes, de même pour le thème T2 et le thème T3 et donc P0 n'échangerait du courrier qu'avec au plus 15 personnes or toute personne échange du courrier avec les 16 autres).

Si parmi ces 6 personnes 2 s'écrivent sur le thème T1 alors avec P0 on a trouvé 3 personnes s'échangeant du courrier sur un même thème (T1).

Sinon tout couple de personnes parmi ces 6 s'échangent du courrier sur un thème autre que T1. Par exemple la personne P1 écrit à chacune des 5 personnes P2,P3,...P6 sur le thème T2 ou T3 : comme 2*2 < 6, P1 doit écrire au moins à 3 d'entre elles sur le même thème. Par exemple (quitte à renuméroter P2,P3,....) P1 écrit à P2,P3,P4 sur le thème T2.

Si 2 personnes parmi P2,P3,P4 s'échangent du courrier sur T2, alors on a trouvé, avec P1, 3 personnes s'échangeant du courrier sur un même thème (T2) ; sinon c'est que tout couple de personnes parmi P2,P3,P4 ne s'échangent pas du courrier sur le thème T2, or on a supposé plus haut que tout couple de personnes parmi P1,P2,...,P6 s'échangeaient du courrier sur un thème autre que T1, donc tout couple de personnes parmi P2,P3,P4 s'échangent du courrier sur le thème T3 (rappel : 2 personnes quelconques s'échangent obligatoirement du courrier, cela sur un seul des 3 thèmes de réflexion).

Finalement on trouve toujours 3 personnes qui s'échangent du courrier sur un même thème de réflexion.



wa broblim a 3shiréé

joli !

Bonjour , @alidos j'ai pas bien compris que représente le 3*5 , tu peux m'expliqué ? Merci . sinnon , je ne m'y connais pas bien en dénombrement (notre prof vient de nous faire le cours ) mais d’après ce que j'ai compris , soit une personne A0 , en représente cette échange de courrier sous la forme suivante (A0,Ai) avec 1=<i =< 16 , il y a 3 possibilité pour la personne A0 pour choisir ses thème ( qui est C^1 ,3 ) , qu'on va simplement permuté entre les couples soit 3!x3=18 (car l'ensemble des couples (A0,Ai) , n'est en faite qu'une permutation de l'ensemble des thèmes }) , et comme il n'y a que 16 couple (A0,Ai) , il y'aura au moins 2 couple ou il y'aura un échange sur le même thème et c'est deux couple représente bien les 3 personnes recherché sauf erreur bien-sur...

D'abbord on a chaque couple s'echange du courrier sur le même thème .. Donc y a au moins deux personnes qui s'échangent le même thème .
Et on a 17=8*2 +1
On a donc 8 couple qui s'échangeront du courrier sur le même theme de reflexion.
On a aussi 8= 3*2+2
D'où deux couples s'échangeront au moins le même thème de réflexions ..(puisqu'on a 3 thèmes possibles)
==>D'où 4 personne au moins s'échangeront du courrier avec le même thème de reflexion.
un couple = 2 personnes