petit help

Bonsoir à tous !
Monter Que : (klk soit n de N*) rac(n/n+2) n'appartient pas à Q.

par absurde supposons que
V(n/n+2)£Q
i.e V(1-2/n+2)£Q
i.e 1-2/n+2=p²/q² /(p,q)£NxN* et pgdc(p,q)=1
i.e 2/n+2=1-p²/q²
i.e 1/n+2=(q²-p²)/2q²
i.e n+2=2q²/q²-p²
i.e q²-p²|2q²
i.e 2q²=kq²-kp² /k£N*
i.e kp²=q²(k-2)
d'ou k=q² ou q=1 sinon pgdc(p,q)=/=1
on peut vite verifier que q=/=1
On traitera mnt le cas de q²=2k qui donnera que p²=(q²-4)/2
d'ou n+2=4q²/q²+4
d'ou q²+4|4q²
ou encore q²+4|4(q²+4)-16
d'ou q²+2|16
d'ou q=0 ce qui est contradictoire ac le fait que : q=/=0 (les autres valeur pour q² ne donnent po un carré parfait)
Sauf erreur!

Veux-tu bien m'expliquer pourquoi tu as utiliser le pgdc?

Omra
un nombre n£Q
si et seulement il peut s'ecrire sous la forme de n=p/q
tq:(p,q)£ZxN* et pgdc(p,q)=1
c'est la forme obtenu apres un maximum d'ikhtizal

Edit : solution fausse .

Oty a écrit:

n\n+2= 1 - 2\(n+2) < 1 . d'ou 0^2< n\(n+2) < 1^2 d'ou le résultat .

L'objectif est de montrer que n/n+2 n'appartient pas a Q! pas seulement a IN ''OTY''

ah oui désolé j'ai pas fait attention .

lamperouge a écrit:

par absurde supposons que
V(n/n+2)£Q
i.e V(1-2/n+2)£Q
i.e 1-2/n+2=p²/q² /(p,q)£NxN* et pgdc(p,q)=1
i.e 2/n+2=1-p²/q²
i.e 1/n+2=(q²-p²)/2q²
i.e n+2=2q²/q²-p²
i.e q²-p²|2q²
i.e 2q²=kq²-kp² /k£N*
i.e p²=((k-1)/2k)q²

pour pouvoir passé a la ligne suivante il faut que la fraction en terme de ''k'' appartient a N pour que cette écriture soit vrai . bon voici une autre tentative que j’espère cette fois ci correct , ainsi s'il existe p et s premier entre eux tel que : n\n+2 = p²\s² , alors n=p² et n+2=s² , d'ou s²-2=p² ou encore : (s-p)(s+p)=2 , s+p=2 et s-p=1 la 2e ligne donne s=p+1 , en remplace dans la premiere on a : 2p=1 impossible , d'ou résultat ...

c édité
merci Oty pour votre pertinence

Oty a écrit:

bon voici une autre tentative que j’espère cette fois ci correct , remarquant d’abord que n et n+2 on la meme parité , ainsi s'il existe p et s tel que : n\n+2 = p²\s² alors p et s sont de la même parité d'ou tout les deux impaire car il sont premier entre eux . ainsi : n=p² et n+2=s² , d'ou s²-2=p² ou encore : (s-p)(s+p)=2 , s+p=2 et s-p=1 la 2e ligne donne s=p+1 ce qui est absurde car deux nombre consécutif non pas la même parité ..... sauf erreur .

si a/b=c/d et si a et b ont une meme parité cela ne veut aucunement dire que c et d ont aussi une meme parité
Contre exemple: a=4,b=6
c=2,d=3

oui tu as raison c'est édité .

Oty a écrit:

lamperouge a écrit:

par absurde supposons que
V(n/n+2)£Q
i.e V(1-2/n+2)£Q
i.e 1-2/n+2=p²/q² /(p,q)£NxN* et pgdc(p,q)=1
i.e 2/n+2=1-p²/q²
i.e 1/n+2=(q²-p²)/2q²
i.e n+2=2q²/q²-p²
i.e q²-p²|2q²
i.e 2q²=kq²-kp² /k£N*
i.e p²=((k-1)/2k)q²

pour pouvoir passé a la ligne suivante il faut que la fraction en terme de ''k'' appartient a N pour que cette écriture soit vrai . bon voici une autre tentative que j’espère cette fois ci correct , ainsi s'il existe p et s premier entre eux tel que : n\n+2 = p²\s² , alors n=p² et n+2=s² , d'ou s²-2=p² ou encore : (s-p)(s+p)=2 , s+p=2 et s-p=1 la 2e ligne donne s=p+1 , en remplace dans la premiere on a : 2p=1 impossible , d'ou résultat ...

=>n=p² et n+2=s²) si PGCD(n,(n+2))=1 qui n'est pas le cas si n est paire.Alors une disjonction de cas nous amènera facilement a la solution

YIRA a écrit:

=>n=p² et n+2=s²) si PGCD(n,(n+2))=1 qui n'est pas le cas si n est paire.Alors une disjonction de cas nous amènera facilement a la solution

Non , pas dans ce cas la en faite tu t"es basé sur la fraction n\n+2 , mais n'oublie pas que l'égalité stipule aussi en se basant sur la fraction a²\b² , que : a²=(k)n et b²=(k)(n+2) pour un certains k , or puisque a et b sont premier entre eux alors k=1 d'ou l'égalité : a²=n et b²=n+2 .....

Oty a écrit:

YIRA a écrit:

=>n=p² et n+2=s²) si PGCD(n,(n+2))=1 qui n'est pas le cas si n est paire.Alors une disjonction de cas nous amènera facilement a la solution

Non , pas dans ce cas la en faite tu t"es basé sur la fraction n\n+2 , mais n'oublie pas que l'égalité stipule aussi en se basant sur la fraction a²\b² , que : a²=(k)n et b²=(k)(n+2) pour un certains k , or puisque a et b sont premier entre eux alors k=1 d'ou l'égalité : a²=n et b²=n+2 .....

nn c plutot n=ka² et n+2=kb²

c'est une proportion cette relation est valable pour les deux sens et le 2eme sens comme déja cité donne k=1 d’ailleurs : n=ka² et n=kb²-2 d'on k(b²-a²)=2 , de cette équation on obtient k=1 !