Soit p un nombre premier ,et n et k deux entiers naturels . on doit montrer que:
(P|n^k) => (p|n)
+Si n=0 : le resultat est evident , car si p divise 0^k=0 p divisera 0
+Si n€IN* : on utilisera le raisonnement par contraposée. c-à-d on va montrer que l'implication [ (p ne divise pas n) => (p ne divise pas n^k) ] est vraie.
On suppose que p ne divise pas n : on pose pgcd(p,n)=d .comme d divise p et p premier alors d=p ou d=1 donc d=1 ( sinon d=p et ainsi p divisera n .Absurde!)
Donc pgcd(p,n)=1 alors pgcd(p,n^k)=1 (k€IN) d'où p ne divise pas n^k (sinon , p divisera n^k et alors pgcd(p,n^k)=p .Absurde! ). On conclut que l'implication demandee a montrer est vraie .
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