exo difficille!!!???

a,b,c>0 tq a²+b²+c²=3 MQ:

5(a+b+c)+3/abc >=18

Edit : rien dit ...

Oty a écrit:

facile voici ma solution : equivalent a : S=5 (a²bc+ab²c+abc²)+3 >= 18 abc , or par AM-GM , S >= 15abc+3 >= 15abc+3abc=18abc , car on appliquant AM-GM a l'hyposte on trouve abc=<1 , egalité pour a=b=c=1 .

Je pense que ce qui est en rouge est faux. Peux tu écrire ta démarche, ton application de I.A.G.
Tu peux prendre a=1/V2 , b=1 , c=sqrt(3/2)

il me semble que : a²bc+ab²c+abc² >= 3 abc

Oty a écrit:

il me semble que : a²bc+ab²c+abc² >= 3 abc

D'où tient tu cela ?

lol , il me semble qu'on a : x+y+z >= 3 racinecubique (xyz) AM-GM , prend x=a²bc , y=ab²c , z=abc²

et de l'hypothése et AM-GM : 3\sqrt[3](a²b²c²)=< a²+b²+c²=3 d'ou abc=< 1 , t'es sur que ma solution est fausse ?

Oty a écrit:

lol , il me semble qu'on a : x+y+z >= 3 racinecubique (xyz) AM-GM , prend x=a²bc , y=ab²c , z=abc²

En prenant x=a²bc y=ab²c c=abc² :

oui tu as raison Merci beaucoup
j'ai sous-estimer le probleme

cette inégalité est vraiment difficile , j'espere Top maths que tu trouvera pas une erreur une nouvelle fois sa ma prix une 1heures pour les calcules suivant voici ma solution: supposant b=<a=<c l'inégalité est équivalente à f(a)=5a²bc+5a(bc²+b²c)+3-18abc >=0
f''(a) = 10bc >=0 donc f est convexe donc il suffit de prouver l'inégalité quand deux variables sont égales
supposons a=b donc c²=3-2b² on injecte cela a l'inégalité il suffit de prouver que : ce qui est vrai (aprés une heure de calcule )

younesmath2012 a écrit:

a,b,c>0 tq a²+b²+c²=3 MQ:

5(a+b+c)+3/abc >=18

(a+b+c)^3>= 27abc
==> 5(a+b+c)+3/abc >= 5(a+b+c)+81/(a+b+c)^3

on cherche le min de f(t) =5t+3^4/t^3
f'(t)=5-3^5/t^4=0 <==> t^4=3^5/5 on note a=3(3/5)^(1/4)
f(a)=5a+3^4/a^3= 5a+3^4a/a^4 =5a+5a/3=20a/3=20(3/5)^1/4 ~ 15.90
On a donc qqs a,b,c>0 : 5(a+b+c)+3/abc >=15
on a pas encore utilisé a²+b²+c²=3

(a+b+c)^3>= 27abc
==> 5(a+b+c)+3/abc >= 15(abc)^(1/3)+3/abc

g(t)=5t+1/t^3
g'(t)=5-3/t^4 = 0 <==> t^4=3/5 soit b=(3/5)^(1/4)
g(b)=5b+5b/3=20b/3 ~ 5.867...

qqs a,b,c >0: 5(a+b+c)+3/abc >= 17.60

mais il faut prouver que c'est supérieur a 18

younesmath2012 a écrit:

a,b,c>0 tq a²+b²+c²=3 MQ:

5(a+b+c)+3/abc >=18

qui a trouvé la reponse svp!!!

Mr Younes , il ne faut toujours espérer pouvoir trouver une solution ''bayna'' comme celle que vous attendez au ''DIfficile '' Probleme !!

le lemme suivant simplifie le probleme : l'inégalité s"ecrit : f(X)=AX-B >=0 ou A=5(a+b+c)-18 et B=3 et X=abc , f est une fonction linéaire en ''X=abc'' ainsi il suffit de la prouver pour deux variables égales .

Oty a écrit:

le lemme suivant simplifie le probleme : l'inégalité s"ecrit : f(X)=AX-B >=0 ou A=5(a+b+c)-18 et B=3 et X=abc , f est une fonction linéaire en ''X=abc'' ainsi il suffit de la prouver pour deux variables égales .

Pourriez vous nous présenter la démo de ce lemme ?

ali-mes a écrit:

Pourriez vous nous présenter la démo de ce lemme ?

il me semble que puisque : a+b+c =< 3 par AM-GM , et que f'(X)=A =<0 et que soit c=min(a,b,c) , abc =<min(ab²,a²b) donc f(X)>=min{ f(ab²) ,f(a²b)} c'est a dire quand deux variable sont égaux . dans un autre cas si A >= 0 , f'(x) >=0 alors soit soit c=min(a,b,c) alors abc >= min(ac² ,bc²) alors f(abc=X) >=min{f(ac²) ,f(bc²)} encore quand deux variable egaux ...

chi mohawala !!!! les mathematiciens ktar tbarkallah

J ai trouve une solution :

On utilisons AMGM on trouve ' que.

5(a+b+c) >15 15racine((ABC)^5

(a^2+ b^2+c^2)/abc=a/(bc)+b/(ac)+c/(ab)>3 3racine(1/(ABC)

On additionnons on trouve que d après AMGM :

S>15 3 racine (abc) +3 3racine (abc)

Et d après AMGM on trouve la solution

votre solution est fausse Mr "Yassirhassininador"

Vous trouvrez Ci-joint une solution que j'ai proposé de cette inégalité.

Vz a écrit:

Vous trouvrez Ci-joint une solution que j'ai proposé de cette inégalité.

il n'ya rien MR ''vz'' !!!

ça fait longtemps que je n'ai pas touché à une inégo,pour se rappeler un peu je propose ma solution
au début on commence par prouver ce lemme :
(ab+ac+bc)²>=3abc(a+b+c)
ça viens du faite que x²+y²+z²>=xy+yz+xz avec les substitutions suivantes x=ab ,y=ac,z=bc
maintenant notons p=a+b+c ,q=ab+ac+bc ,r=abc ainsi la condition de l’exercice se réécrit p²=2q+3 et aussi d’après le lemme : 3/r>=9p/q² et donc pour prouver l'inégalité il suffit de prouver que : 5p+9p/q²>=18 ou encore 5p+36p/5(p²-3)²>=18 et là,la laideur du calcule commence :'( , 5p+36p/5(p²-3)²-18 =(p-3)²(5p^3+12p²-3p-18)/(p²-3)² et donc il nous reste plus qu'a montrer que 5p^3+12p²-3p-18>=0 chose qui est facile.