exercice2- ramadanne!!!!

a,b,c>0 MQ:
$exercice2- ramadanne!!!! Gif$
en utilisant une simple methode comme am-gm

chkone i9dar 3lih rah mas3ibch!!!!

salam chi mardi lwalidine idir chi mohawala!!!!!!!!!

younesmath2012 a écrit:: a,b,c>0 MQ:
$exercice2- ramadanne!!!! Gif$
en utilisant une simple methode comme am-gm

supposant a>=b>=c l'inégalité est équivalente a :

[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum&space;(a-b)^2(a^2(b+c)+(b-c)(ab+ac+bc))&space;\geq{(b-c)^2[c^2(a+b)+b^2(c+a)-(b-c)(ab+ca+bc)]=2c^2(b-c)^2(a+b)}\geq{0}[/img]

rani ba9i mafhemtch ljawab diyalek a Mr''oty''radinhawal m3ah ila kane shihe

lakane chi mouchkile je suis pret a détaillé pour vous Mr.Younes Smile

merci beaucoup htandabaz m3aha onchof!!!

sarahatan mafhektch dakchi li maktoub il momkine un peu de detail svp Mr''oty''

On pose x=a+b+c , y=ab+ac+bc et z=abc

a²+b²+c²=x²-2y
(a+b)(a+c)(b+c)=xy-z

l'inégalité devient
(x²-2y)/ y +8 z/(xy-z)>=2
<===>
(x²-2y)(xy-z)+8yz >=2y(xy-z)
<===>
x^3y-x²z -4xy²+12yz >=0
....

salam ba9i majawbti !!!!!

younesmath2012 a écrit:: sarahatan mafhektch dakchi li maktoub il momkine un peu de detail svp Mr''oty''

avec plaisir : voila pour Mr Younes Smile

.

[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-1&space;-(1-\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)})\geq{0}\Leftrightarrow&space;\sum&space;\frac{(a-b)^2}{2(ab+ac+bc)}-\sum&space;\frac{c(a-b)^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq{0}&space;\Leftrightarrow&space;\sum(a-b)^2[(a+b)(b+c)(c+a)-2c(ab+bc+ca)]&space;\geq{0}\Leftrightarrow&space;\sum&space;(a-b)^2[a^2(b+c)+(b-c)(ab+bc+ca)]&space;\geq{0}[/img]

.
puisque on a supposé a>=b>=c on remarque que dans la somme cyclic on a : (a-b)² [a²(b+c)+(b-c)(ab+ac+bc)]>=0 et (c-a)²[c²(a+b)+(a-b)(ab+ac+bc)] >=0 , mais le terme restant :

(b-c)²[b²(c+a)-(a-c)(ab+bc+ca)] peut etre negatif , or puisque : (c-a)²=(a-c)² >=(b-c)² car a >=b et puisque (a-b)² [a²(b+c)+(b-c)(ab+ac+bc)]>=0 ,

alors : http://latex.codecogs.com/gif.latex?LHS&space;\geq{(b-c)^2(c^{2}}(a+b)+(a-b)(ab+ac+bc))+(b-c)^2(b^2(c+a)-(a-c)(ab+ab+bc))=2c^2(b-c)^2&space;(a+b)&space;\geq{0}

encore tbarkellah 3lik!!!!!
very very very good

Merci beaucoup Mr.Younes , c'est un plaisir Smile

est ce que tu peut trouver une simple methode!!!!! qui ne demande pas trop de calcul

c 'est qu'elle calcule m'ont pris 7 min , comme deja dit une simple methode n'est pas tjrs facile a trouver ... Neutral

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