a+1/b=b+1/c=c+1/a=p
On pose x=a+b+c, y=ab+ac+bc et z=abc , on a z²=1 par Oty
a+b+c+1/a+1/b+1/c=3p ==> x+y/z=3p <==> x+zy=3p (*)
ac+1=ap
ab+1=bp
bc+1=cp
ab+ac+bc+3=p(a+b+c) ==> y+3=px (**)
Alors x et y solution du système (*) et (**)
si pz+1#0 , x=3(z+p)/(pz+1) et y=3(p²-1)/(pz+1)
Mais pz+1=z(p+z) ==> x= 3z et x²=9
(ac+1)²=a²p²=a²c²+2ac+1
(ab+1)²=b²p²=a²b²+2ab+1
(bc+1)²=c²p²=b²c²+2bc+1
==> a²c²+a²b²+b²c²+2(ac+ac+bc)+3=(a²+b²+c²)p²
==> y²-2xz+2y+3=(x²-2y)p²
==> y²+2(p²+1)y=3(3p²+1) (***)
si x=3 ==> z=1 et y=3(p-1) par (**)
(***) ==> 9(p-1)²+6(p²+1)(p-1)=3(3p²+1)
==> 9(p²-2p+1)+6(p^3-p²+p-1)=9p²+3
==> 3(-2p+1)+2(p^3-p²+p-1)=1
==> 2p^3-2p²-4p=0
==> p²-p-2=0 ==>(p+1)(p-2)=0 ==> p=-1 ou p=2
Mais pz+1=p+1#0 ==> p=2
==>y=3
Donc, a , b et c racines de X^3-3X²+3X-1=(X-1)^3 ==> a=b=c=1 ( contraire à l'hypothèse a,b et c 2 à 2 #)
si x=-3 ==> z=-1 et y=-3(p+1) par (**)
(***) ==> 9(p+1)²-6(p²+1)(p+1)=9p²+3
==> 9(p²+2p+1)-6(p^3+p²+p+1)=9p²+3
==> 3(2p+1)-2(p^3+p²+p+1)=1
==> -2p^3-2p²+4p=0
==> p²+p-2=0=(p+2)(p-1)
Mais pz+1=-p+1#0 ==> p=-2
==> y=3
Donc, a , b et c racines de X^3+3X²+3X+1=(X+1)^3 ==> a=b=c=-1 ( contraire à l'hypothèse a,b et c 2 à 2 #)
Donc pz+1=0 ==> z=-p
Finalement (*)=(**) : y=px-3 avec p²=1
==>
Donc, a , b et c racines de X^3-xX²+(px-3)X+p avec p²=1 et x dans R
Ces triplets (a,b,c) sont de la forme (a, 1/(p-a), p-1/a) avec a#0, a#p et p²=1
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