Somme des quotients !

Prouver que, pour tous entiers naturels nons nuls, on a:

1/2 < 1/(n+1) + 1/(n+2) + 1/(n+3) + .... + 1/(n+n-1) + 1/(n+n) < 3/4

1/2=n/(n+n)<1/(n+1) + 1/(n+2) + 1/(n+3) + .... + 1/(n+n-1) + 1/(n+n)=x_n

on sait que (x_n) croissante ---> Ln(2)<3/4

x_n=<k/(n+1)+(n-k)/(n+k+1)<3/4 trouver le bon k<n

Une preuve directe sans le recours au ln
Soit n>=1
x_n=1/(n+1) + ....+ 1/(n+n)
= [1/(1+1/n) + ....+ 1/(1+n/n)]/n
=< [(1-1/2n) + ....+ (1-n/2n)]/n car 1/(1+t)=<1-t/2 pour 0<t=<1
=1 - [1 + ....+n]/2n²
=1-n(n+1)/4n²
=1 -1/4-1/4n
=3/4-1/4n
<3/4