exerice complexe niveau *** a defi:

Voila un exercice de niveau elevé :
Sachant que Z=exp(2ipi/n)
calculez:
Sigma ( de k=1 juska n-1 ) de 1/(1-(z^k)) .

(z-1)(z-w)(z-w^2)...(z-w^{n-1})=z^n-1 pour tout z de C ou w=exp(2ipi/n)

==> Sigma( k=0 , n-1 ) de 1/(z-w^k) =nz^{n-1}/(z^n-1) (dérivée logarithmique)
pour tout z de C et z# w^k

==> Sigma( k=0 , n-1 ) de 1/(x-w^k) =nx^{n-1}/(x^n-1) pour tout x>1

==> Sigma( k=1 , n-1 ) de 1/(x-w^k) =nx^{n-1}/(x^n-1)-1/(x-1)
qd x--->1, Sigma( k=1 , n-1 ) de 1/(1-w^k) =lim(x-->1)nx^{n-1}/(x^n-1)-1/(x-1)

pour lim(x-->1)nx^{n-1}/(x^n-1)-1/(x-1) on donne une petite astuce

nx^{n-1}/(x^n-1)-1/(x-1) est la dérivée de ln(x^n-1)-ln(x-1) pour x>1

ln(x^n-1)-ln(x-1)=ln(x^n-1)/(x-1) =ln(x^{n-1}+...+x+1)

==>
nx^{n-1}/(x^n-1)-1/(x-1)= ((n-1)x^{n-2}+...+2x+1)/(x^{n-1}+...+1)

==> lim(x-->1)nx^{n-1}/(x^n-1)-1/(x-1)=n(n-1)/2n=(n-1)/2

==> Sigma( k=1 , n-1 ) de 1/(1-w^k) =(n-1)/2