Exercice: 16.1) Le domaine de définition de la fonction numérique f.
f(x) appartient à R <==> x # 1 , x # (-1) , x >= (-1/
Donc: Df = [-1/8 , 1[ U ]1+oo[.
2) La fonction f admet-elle une extension par continuité dans 1 ?
On a:
Lim f(x) = +oo
x ->1
Puisque l'infini n'est pas inclu dans R, alors la fonction f n'admet pas d'extension par continuité dans 1.
Exercice: 17.1) Il suffit de remarquer que le nombre x0=1 est une racine du polynome 2x^17-17x+15, donc on peut factoriser par (x-1).
On aura donc f(x) = (x-1)(x^16......-15)/(x-1).
D'ou: sa limite en x0=1 appartient à R, ce qui veut dire qu'elle admet une extension par continuité sur x0=1.
2) On a:
Lim f(x) = lim 3(tanx/x)-2(sinx/x) = 3-2 = 1.
x->0 x->0
Le nombre 1 appartient à R.
Donc: la fonction f admet dans ce cas une extension par continuité dans x0=0.
Soit g cette extension, alors: g(x)=f(x) , x E Df-{0} , et g(0)=1.
3) On rappelle que: (x^n)-(a^n) = (x-a)[(x^n-1)+(a.x^n-2)+(a^2.x^n-3)+.....+(x.a^n-2)+(a^n-1)]
Donc:
Lim f(x) = n.a^(n-1)
x->a
Le nombre n est un entier non nul, et le nombre a est un réel, donc: n.a^(n-1) appartient à R.
D'ou: la fonction f admet dans ce cas une extension par continuité dans x0=a.
Soit g cette extension, alors: g(x)=f(x) , x E Df-{a}, et g(a) = n.a^(n-1)
De la meme facon on procède pour démontrer le reste.
Pour calculer les limites facilement:
4) Factorisation. 5) Conjugué. 6 et 7) Dérivée.
Bonne chance
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