exo 104 PAGE 139 du manuel !!

1) monter que pour tout n dans lN ; il existe un unique Un>0 tel que
(Un)^n+Arctan(Un)=1
2) montrer que Un est convergente et définir sa limite!
merci d avance

bonsoir,notre prof nous a proposé cet exo au contrôle mais avec des étapes bien sur, les voila:
on considère la fonction définie sur R+* par :fn(x)=x^(n)+arctanx . tel que n un entier naturel non nul
1)montrez que pour tout n de N* il existe et unique Un de R+* tel que fn(Un)=1
2)démontrez que 0<Un<1
3)déterminer le signe de fn+1(x)-fn(x)
4)déduire la monotonie de (Un) et qu'elle est convergente
5 montrez que Un=racine(degrés n)(1-arctanUn)
en déduire que racine (degrés n)(1-pi/4)<Un<1
calculer la limite de Un.
j’espère que ça va t'aider.

merci bcp;...

avec plaisir

merci;j ai déja fait les 4 premières questions et pour la 5eme c est simple de montrer que Un=racine(degrés n)(1-arctanUn)
et déduire que racine (degrés n)(1-pi/4)<Un<1 ( 0<Un<1 ==> -(pi/4)<-Arctan(Un)<0 ..........etc ) mais pour la limite je sais pas comment faire ???????,

ben on a (degrés n)(1-pi/4)<Un<1 alors (1-pi/4)^(1/n)<Un<1
et lim (1-pi/4)^(1/n)=1 car lim 1/n=0 (et 1-pi/4)^0=1 alors la lim=1

j'espere que c'est claire

ok merci . oui t as raison j ai pas fait attention merci en tout cas

de rien