T.A.F exercice 7 page 224 du manuel

on pose f une fonction est dérivée à l'intervalle I dans l'esemble R
et on pose x1 et x2 et x3 sont trois élèments dans I tel que :
2f(x2)=f(x1)+f(x2)
montrer que : (il exicte c dans l'intevalle I) tel que ; f'(c)=0

Bonjour,

Tu as mal recopié l'énoncé de l'exercice 7 page224 . La relation correcte est:2.f(x3)=f(x1)+f(x2) .

L'exercice proposé est faux: prendre f(x)=x , I=IR , x1=0 , x2=1 et x3=1/2 .
f est dérivable sur I , 2.f(x3)=f(x1)+f(x2) et pour tout c dans I , f'(c) est non nul.

merci mon ami

si tu as encore besoin de la solution, la voila : on considère la fonction g(x)=(f(x)-f(x3))²
-si f(x)=f(x3) alors f est constante donc il existe un c tel que f'(c)=0
-si non ,on a g est continue sur [x1,x2] et dérivable sur ]x1,x2[ .
on a g(x1)=(f(x1)-f(x3))² et g(x2)=(f(x2)-f(x3))² et on a 2f(x3)=f(x1)+f(x2) alors f(x3)-f(x1)=f(x2)-f(x3) donc (f(x3)-f(x1))²=(f(x2)-f(x3))² ça veux dire (f(x1)-f(x3))²=(f(x2)-f(x3))²
et en fin on déduit que g(x1)=g(x2) et selon Roll, il existe un c de ]x1,x2[ tel que g'(c)=0 ça veux dire il existe un c de I tel que 2f'(x)(f(x)-f(x3))et puisque f(x)#f(x3) alors il existe un c de I tel que f'(c)=0 d'ou le résultat .
ps:tu peux prendre g(x)=(f(x)-f(x3))^n tel que n est paire.

Bonjour,

@salimreda:

* Dans mon intervention du lundi 19 novembre à 6h28mn , j'ai donné un exemple de fonction qui vérifie les hypothèses de l'exercice mais dont la dérivée ne s'annule en aucun point de l'intervalle I . Ce qui prouve que l'exercice en question est faux .

* En lisant la solution que tu as proposé , j'ai relevé une erreur de raisonnement qui t'a conduit à une conclusion fausse. Si tu veux , je peux te montrer l'erreur.

Amicalement.

merci

Citation :

f(x3)-f(x1)=f(x2)-f(x3) donc (f(x3)-f(x1))²=(f(x2)-f(x3))² ça veux dire (f(x1)-f(x3))²=(f(x2)-f(x3))²

Complétement faux !

ou est elle l'erreur syba : a=b==>a²=b²==>(-a)²=b²