T.A.F exercice 9 page 224 du manuel

(quelque soit n appartient l'ensemble N*) et (quelque soit p dans l'intervalle ouvert (0.1)):
montrer que : p/(n+1)^(1-p)<(n+1)^(p)_n^(p)<p/n^(1-p)
on peut utiliser T.A.F sur la fonction x=t^(p)

Bonjour,

As-tu étudié en cours la dérivée de la fonction exponentielle de base a ?

* Si oui , en appliquant le T.A.F à la fonction f définie par f(x)=x^p sur l'intervalle [n , n+1] , on a: il existe c dans ]n , n+1[ tel que f(n+1) - f(n)= f'(c) .
L'encadrement de f'(c) permet d'aboutir au résultat demandé .

* Si non , attendre l'étude de la dérivée de la fonction exponentielle de base a pour faire l'exercice.

explique moi s'il vout plait ; comment fais T.V.I pour cette fonction
et merci

Bonsoir,

* Il ne s'agit pas du T.V.I (théorème des valeurs intermédiaires) mais du T.A.F (théorème des accroissements finis).

* Pour t'aider , j'ai besoin d'une réponse à la question que je t'ai posé au début de mon intervention d'aujourd'hui à 14h44mn.

merci ; mais je ne comprends pas bien

Bonsoir,

Explications:

Soient n un entier naturel non nul et p un élément de ]0,1[ .
Considérons la fonction f définie sur [n,n+1] par f(x)=x^p .
f est continue sur [n,n+1] et f est dérivable sur ]n,n+1[ ( f'(x)=p.x^(p-1) = p/x^(1-p) ) . D'après le T.A.F , il existe c dans ]n,n+1[ tel que
f(n+1) - f(n) =( (n+1) - n ).f'(c) ; soit (n+1)^p - n^p = p/c^(1-p) .
Or n < c < n+1 , donc n^(1-p) < c^(1-p) < (n+1)^(1-p) .
Donc 1/(n+1)^(1-p) < 1/c^(1-p) < 1/n^(1-p) . Donc p/(n+1)^(1-p) < p/c^(1-p) < p/n^(1-p) .
Par suite p/(n+1)^(1-p) < (n+1)^p - n^p < p/n^(1-p) .

merci beaucoup beaucoup ................