T.A.F exercice 43 page 227 du manuel

en utilisant T.A.f résoudre ces équatuons:
(E1): 3^(x)+6^(x)=5^(x)+4^(x)
(E2): 3^(x)+4^(x)+6^(x)=2^(x)+8^(x)+4^(x)

Bonjour ,

Résolution de l'équation (E1):
...........................................

Remarquons que 0 et 1 sont solutions de (E1).
Montrons (par l'absurde) que 0 et 1 sont les seules solutions de (E1).
Supposons que (E1) admet une autre solution s autre que 0 et 1. Donc 3^(s)+6^(s)=5^(s)+4^(s).
Par suite 6^(s) - 5^(s) = 4^(s) - 3^(s) : (R1).
Considérons la fonction f définie sur ]0,+l'infini[ par f(x)=x^(s) .
L' appliquation du théorème des accroissements finis à f sur [5,6] permet d'affirmer qu'il existe c dans ]5,6[ tel que 6^(s)-5^(s)=f'(c)=s.c^(s-1):(R2).
L'application du T.A.F à f sur [3,4] permet d'affirmer qu'il existe d dans ]3,4[ tel que 4^(s)-3^(s)=f'(d)=s.d^(s-1) : (R3)
De (R1),(R2) et (R3) , on déduit que s.c^(s-1)=s.d^(s-1) ,donc c^(s-1)=d^(s-1) , par suite c=d (ce qui est absurde).
En conclusion:l'ensemble de solutions de (E1) est {0,1} .

P.S. Je te laisse le soin de résoudre l'équation (E2) ( s'inspirer de la résolution de (E1) ).

merci ;mais je ne comprends pas bien cette solution

Rebonjour ,

Précise ce que tu ne comprends pas bien dans la solution.

c=d;
pourquoi il y a deux solutions 0 et 1

Bonjour ,

1) c=d :
............
On a : c^(s-1) = d^(s-1) (voir l'avant dernière ligne de la résolution de (E1) ) .
Donc e^((s-1).ln(c))=e^((s-1).ln(d)) , donc (s-1).ln(c)=(s-1).ln(d) . Or (s-1) est non nul (car s est différent de 1) , donc ln(c)=ln(d) , par suite c=d .

2) 0 et 1 sont les seules solutions de (E1):
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On a remarqué au départ que 0 et 1 vérifient l'équation (E1) , donc 0 et 1 sont solutions de (E1).
On a démontré par l'absurde que l'équation (E1) ne peut avoir de solution s autre que 0 et 1.
Donc 0 et 1 sont les seules solutions de (E1) .

on a supposé qu'il y a une autre solution s autre que 0 et 1
mais on a trouvé c=d ; donc il y a une autre solution s différent de 0 et 1
mais pourquoi 0 et 1 sont seules solutions de (E1)

Bonjour ,

En supposant que (E1) admettait une solution s autre que 0 et 1 , on est arrivé à la conclusion c=d( conclusion qui est fausse car 5<c<6 et 3<d<4 ). Donc notre supposition est fausse.Par suite sa négation est vraie : c'est à dire que (E1) n'admet pas d'autre solution s autre que 0 et 1.

N.B. Il s'agit d'un raisonnement par l'absurde comme signalé au début de ma première intervention . Je t'invite à revoir les différents types de raisonnement étudiés en première bac et de bien étudier les solutions des exercices qu'on te propose.

Amicalement.

merci beaucoup ; je comprends bien

par absurde