T.A.F exercice 77 page 231 du manuel

(quelque soit x appartient l'intervalle ouvert (0.+l'infini)
montrer que ; x/(x+1)<ln(1+x)

il suffit de prendre la fonction f(t)=ln(1+t)
soit x appartient l'intervalle ouvert (0.+l'infini)
et avec T.A.F il existe un "c" appartenant a ]0,x( t.q : f'(c) = f(x)/x (puisque f(0) = 0)
et on a f'(t) = 1/(1+t)
donc c < x ==> 1/(1+x) < 1/(1+c)
==> 1/(1+x) < f'(c)
==> 1/(1+x) < f(x)/x
==> x/1+x < f(x)
==> x/1+x < ln(1+x)

merci mon ami