exercice 12 page 167 du manuel

on pose a et b deux élèments réel positif et non nul ;
montrer que ; 1/2(ln(a)+ln(b))<ln(a+b/2)
et merci

soit a,b deux réels positif non, nul;
(Va-Vb)²>=0,
a+b>=2Vab,
=> (a+b)/2>= (ab)^(1/2), la fonction ln est strictement croissant sur (R+)*, donc
ln((a+b)/2) >= 1/2ln(ab) (*)
(ln(ab)=ln(a)+ln(b)) .. conclure d'après (*).

jolie mohamed....

ou alors :

en notant f(x)=ln(x), alors f''(x)=-1/x² sur R^(+*). Il en résulte que f est une fonction strictement concave. Donc :

[f(a)+f(b)]/2 < f((a+b)/2)

merci ; mais je ne comprends pas bien

aabid a écrit:

merci ; mais je ne comprends pas bien

Il a utiliser l'inégalité de Jensen, qui ne figure pas au programme (en ce qui concerne la solution de Tog)

s'il vous plait explique moi
et merci

l inegalite de jensen est une ingo qui concerne les fonctions convexes(f"(x)>=0) ou concaves (f"(x)<=0) ............ énoncé : tu peux voir le site suivant : http://fr.wikipedia.org/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_de_Jensen (forme discrète)
amicalement

Le Jour du National Dirlihome Jensen !

je ne comprends pas bien cette théoréme

Regarde aussi la section "Possibilité de n'utiliser que des milieux" de ce lien : http :// fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_convexe

Dans ton exo, on a une fonction concave définie par f(x)=ln(x)
Il faut alors changer le sens de l'inégalité dans celle du lien que j'ai précisé.

Ce lien est pas mal aussi : http :// gilles.costantini.pagesperso-orange.fr/agreg_fichiers/fctconv.pdf

mais je ne comprends pas cette fonction