Probleme octobre 2012

Calculer lim [(1/n)^n+(2/n)^n+...+((n-1)/n)^n]

Bonsoir:

On a:
Un = [1^n + 2^n +....+(n-1)^n]/n^n = (n-1)^n[(1/n-1)^n+(2/n-1)^n...+1]/n^n

Donc:
Lim (Un)=0

Sauf erreurs!

Syba a écrit:

Bonsoir:

On a:
Un = [1^n + 2^n +....+(n-1)^n]/n^n = (n-1)^n[(1/n-1)^n+(2/n-1)^n...+1]/n^n

Donc:
Lim (Un)=0

Sauf erreurs!

non ce n'es pas juste

Mr Abdelbaki , s'il vous plait n tend vers ?

Normalement quand on parle de l'entier n c'est +oo car c la seule limite qu'on peut definir pour une suite!

Oty a écrit:

Mr Abdelbaki , s'il vous plait n tend vers ?

C'est une suite ==> n--->+00

abdelbaki.attioui a écrit:

C'est une suite ==> n--->+00

Merci excusez mon ignorance on a pas encore étudier cette leçon , la limite d'une suite ....

Syba a écrit:

Bonsoir:

On a:
Un = [1^n + 2^n +....+(n-1)^n]/n^n = (n-1)^n[(1/n-1)^n+(2/n-1)^n...+1]/n^n

Donc:
Lim (Un)=0

Sauf erreurs!

Indication: 1/e=<lim Un=<1

en fait il suffit de prouver que:
pour tout m dans N sum(k^m,k=1..n-1) equivaut a ((n-1)^(m+1))/(m+1) quand n tend vers l infini
et ca je le prouve par reccurrence forte sur m
pour m=0,1,2 ca marche
supposons que c vrai jusqu au rang m et prouvons le au rang m+1
on a (k+1)^(m+2)-k^(m+2)=(m+2)k^(m+1)+((m+2)(m+1)/2)*k^m....
donc en sommant de k=1 jusqu a n-1
on a n^(m+2)-1=som (C((m+2),k)*f(n-1,m+2-k),k=1..m+2)
avec f(n-1,m)=sum(k^m,k=1..n-1)
en divisant par (n-1)^(m+2) on trouve
(n^(m+2)-1)/(n-1)^(m+2)=(m+2)f(n-1,m+1)/(n-1)^(m+2)+som (C((m+2),k)*f(n-1,m+2-k),k=2..m+2)
j'appelle S= som (C((m+2),k)*f(n-1,m+2-k),k=2..m+2)
S par hypothese de reccurence en linfini est equivalente a A*somme(1/(n^k),k=1..m+1) avec A=cte
S tend vers 0
(n^(m+2)-1)/(n-1)^(m+2) tend vers 1 donc sum(k^(m+1),k=1..n-1) equivaut a ((n-1)^(m+2))/(m+2) donc ca marche pour tout m Dans N.
revenant a nos moutons Un=som(k^n)/(n^n)
Un equivaut a ((n-1)^(n+1))/(n^n)*(n+1) et ceci tend vers 1/e donc Un tend vers 1/e sauf erreur bien sur

salut , j'ai trouvé autre chose : en faite on peut résoudre le probleme simplement sauf erreur on a :

et on a :

et donc

Merci de corrigé mon erreur s'il y en a .

c'et la même remarque: si qqs p dans N , u(n,p) ---> u_p qd n---> +oo
on n'a pas forcément sum (p=1 à n)u(n,p) ---> sum (p=1 à +oo )u_p qd n---> +oo

Contre exemple : qqs p dans N , u(n,p)= 2^(-n) 3^(p-1) --->0 qd n---> +oo
sum (p=1 à n)u(n,p)= 2^(-n-1) (3^(n)-1) --->+oo qd n---> +oo

Mais l'idée de Oty est bonne;
sum (p=1 à n) (1-p/n)^n
= sum (p=1 à n) [(1-p/n)^n-e^(-p)] + sum (p=1 à n) e^(-p)
= sum (p=1 à n) [(1-p/n)^n-e^(-p)] + ( 1- e^(-n)/(e-1)

on sait que e^t >=1+t qqs t dans R ==> e^(-p)- (1-p/n)^n>=0 , qqs n >= p> 0

e^(-p)- (1-p/n)^n
=e^(-p)- exp(n ln(1-p/n))
=e^(-p)- exp(-p -p²/2n+o(1/n))
=e^(-p)- e^(-p)exp(-p²/2n+o(1/n))
=e^(-p)- e^(-p)(1-p²/2n+o(1/n))
=e^(-p)p²/2n+e^(-p)o(1/n))
==>
sum (p=1 à n) [(1-p/n)^n-e^(-p)]
=1/2n. sum (p=1 à n)e^(-p)p² +n o(1/n).1/n. sum (p=1 à n)e^(-p)

Par Césaro 1/n. sum (p=1 à n)e^(-p)p² et 1/n. sum (p=1 à n)e^(-p) --->0 qd n---> +oo
alors sum (p=1 à n) [(1-p/n)^n-e^(-p)]--->0 qd n---> +oo
Donc sum (p=1 à n) (1-p/n)^n ---> 1/(e-1) qd n---> +oo

abdelbaki.attioui a écrit:

c'et la même remarque: si qqs p dans N , u(n,p) ---> u_p qd n---> +oo
on n'a pas forcément sum (p=1 à n)u(n,p) ---> sum (p=1 à +oo )u_p qd n---> +oo

Contre exemple : qqs p dans N , u(n,p)= 2^(-n) 3^(p-1) --->0 qd n---> +oo
sum (p=1 à n)u(n,p)= 2^(-n-1) (3^(n)-1) --->+oo qd n---> +oo

Mr Attioui , je pense pas que se soit une erreur ;
votre contre exemple ne marche pas car le 0 ne dépend pas de ''p''
d'ailleur , lim n->+infin (k\n)^n = 0 (avec k=< n) ici je suis d'accord avec vous que sa ne prouve pas que la limite de la somme est 0
en effet si la limite est 0 cela veux dire que que U(n,p) prend des valeurs tres petites quand n devient tres large mais sans pour autant s'annulé donc la limite de la somme peut etre forcément différente de 0 , car une infinité de ''petites Valeur'' peut donné une valeur non négligeable , c'est pour cela que j'avais utilisé le changement de variable pour exprimé la limite de u_{n,p} en fonction de ''p''
d'ailleur cette limite (1-p\n)^n = e^{-p} en découle l' approximation suivante :


qui donne le resultat , aussi utilisé la moyenne de Césaro revient a utilisé la limite de u(n,p) ....
Merci .

Oty a écrit:

abdelbaki.attioui a écrit:

c'et la même remarque: si qqs p dans N , u(n,p) ---> u_p qd n---> +oo
on n'a pas forcément sum (p=1 à n)u(n,p) ---> sum (p=1 à +oo )u_p qd n---> +oo

Contre exemple : qqs p dans N , u(n,p)= 2^(-n) 3^(p-1) --->0 qd n---> +oo
sum (p=1 à n)u(n,p)= 2^(-n-1) (3^(n)-1) --->+oo qd n---> +oo

Mr Attioui , je pense pas que se soit une erreur ;
votre contre exemple ne marche pas car le 0 ne dépend pas de ''p''
d'ailleur , lim n->+infin (k\n)^n = 0 (avec k=< n) ici je suis d'accord avec vous que sa ne prouve pas que la limite de la somme est 0
en effet si la limite est 0 cela veux dire que que U(n,p) prend des valeurs tres petites quand n devient tres large mais sans pour autant s'annulé donc la limite de la somme peut etre forcément différente de 0 , car une infinité de ''petites Valeur'' peut donné une valeur non négligeable , c'est pour cela que j'avais utilisé le changement de variable pour exprimé la limite de u_{n,p} en fonction de ''p''
d'ailleur cette limite (1-p\n)^n = e^{-p} en découle l' approximation suivante :


qui donne le resultat , aussi utilisé la moyenne de Césaro revient a utilisé la limite de u(n,p) ....
Merci .

u_p=0 qqs p

abdelbaki.attioui a écrit:

u_p=0 qqs p

Mr Attioui le fait quelle soit nul quelque soit p prouve qu'elle ne dépend pas de p

Oty a écrit:

abdelbaki.attioui a écrit:

u_p=0 qqs p

Mr Attioui le fait quelle soit nul quelque soit p prouve qu'elle ne dépend pas de p

C'est juste un contre exemple
Mais si tu veux un u_p qui dépend de p il suffit de prendre n'importe quelle suite positive (u_p) et poser u_(n,p)=2^(-n) 3^(p-1) + u_p

u_(n,p)--> u_p qd n-->+oo
sum(p=1 à n) u(n,p) > 2^(-n-1) (3^(n)-1) --->+oo qd n---> +oo

Question

Soit (u(n,p)) une suite double à termes positifs telle que pour tout p, u(n,p) --> u_p qd n -->+oo
Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que la suite (sum(p=1 à n) u(n,p) )_n converge.

Je pense que votre preuve est fausse Mr.Oty!

abdelbaki.attioui a écrit:

Oty a écrit:

abdelbaki.attioui a écrit:

u_p=0 qqs p

Mr Attioui le fait quelle soit nul quelque soit p prouve qu'elle ne dépend pas de p

C'est juste un contre exemple
Mais si tu veux un u_p qui dépend de p il suffit de prendre n'importe quelle suite positive (u_p) et poser u_(n,p)=2^(-n) 3^(p-1) + u_p

u_(n,p)--> u_p qd n-->+oo
1/n . sum(p=1 à n) u(n,p) > 2^(-n-1) (3^(n)-1) --->+oo qd n---> +oo

Question

Soit (u(n,p)) une suite double à termes positifs telle que pour tout p, u(n,p) --> u_p qd n -->+oo
Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que la suite (1/n sum(p=1 à n) u(n,p) )_n converge.

il suffit et il faut que (Up)p soit convergente selon Th.de Césaro ..juste ?