de vasile cirtoage 2005.

a,b,c >=0 tq ab+bc+ca=3 montrer que

Bonjour Mr Youness math .

par l'inégalité de Schur on a : a^3+b^3+c^3+6abc >= (a+b+c)(ab+bc+ac)

et donc a^3+b^3+c^3 + 7 abc >= 3(a+b+c) +abc

par Schur again on a : abc >= (12-(a+b+c)²)(a+b+c) ) / 9

donc Il suffit de Prouver que : 3(a+b+c) + (12-(a+b+c)²)(a+b+c) ) / 9 >= 10

l'inégalité est équivalente à :

(a+b+c-3) ((4-a-b-c)(7+a+b+c) +2) >= 0

si a+b+c =< 4 l'inégalité est clairement vrai .

si a+b+c >= 4 revenons a notre Inégalité initiale

on a : a^3+b^3+c^3 + 7abc >= 10

équivalent à : (a+b+c)^3-9(a+b+c)+10abc >= 10

ce qui est juste car (a+b+c)^3-9(a+b+c)-10 >= 7(a+b+c) -10 > 0

et d'ou la conclusion .

Je te Propose deux Inégalités Intéréssantes

J'ai beau cherché un truc beau, mais apparemment on revient toujours aux méthodes killers passe-presque-partout, à savoir la méthode uvw.

Pour 2) par exemple on obtient un équivalent du genre :

6v^2*((9u^2-6v^2)+9v^2-6uw^3)-45(9u^2v^4-6v^6-6u^3w^3+4uv^2w^3)+5w^6>=0

faut chercher un inconnu présentant une certaine convexité et puis on creuse sa piste....

Mr Radouane_BNE je t'assure l'inégalité n'est pas facile , elle est un peu puissante qu'a celle d'IRAN 96 , cas d'égalité (1,1,0) avec permutations

Je n'ai pas dit qu'elle est triviale, j'ai juste dit que probablement ça nécessite des armes calculatoires lourdes...sinon il est temps d'arrêter l'utilisation de ''Mr'',on est tous ici des jeunes cool

radouane_BNE a écrit:

Je n'ai pas dit qu'elle est triviale, j'ai juste dit que probablement ça nécessite des armes calculatoires lourdes

...sinon il est temps d'arrêter l'utilisation de ''Mr'',on est tous ici des jeunes cool

Alors on a :


est équivalente à :

Après développement on obtiendra :


Par AM-GM on prouvera que :


We are done. Ceci prouve que l'inégalité peut être améliorée.

Pour la première.

Je montre un truc plus strict :





L'inégalité en question découle facilement de celle-ci.

qui est équivalent à :


Encore une fois on fait appel à AM-GM :


et :


et :



CQFD.

radouane_BNE a écrit:

Alors on a :

est équivalente à :

Après développement on obtiendra :

Par AM-GM on prouvera que :

We are done. Ceci prouve que l'inégalité peut être améliorée.

Chapeau Pour ta patience Radouane a voir ce lemme :

Je pense que 9/2 une mieux que 5/2, si tu as un peu du temps, essaie avec ton lemme cette constante.

alidos a écrit:

a voir ce lemme :

Il ne faut pas oublier qu'il faut supposer que x>=y>=z pour utiliser ce lemme !