Applications de l'inégalité de Holder.

Ce lien est réservé à l'inégalité de Holder. Celui qui résout l'exercice devra proposer un nouveau dans cette page et ainsi de suite.

Je commence: soient a,b,c des réels strictement positifs. montrer que:

Inégalité 1:

1/(b(a+b))+1/(c(b+c))+1/(a(c+a))>=27/(2(a+b+c)^2)

à vous de jouer

selon Holder LHS =< 9/(a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc)
donc l'inegalite a demontrer est a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc=<2(a+b+c)^2/3
on a : a^2+b^2+c^2>=ab+ac+bc ==> a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc=<2(a+b+c)^2/3
le resultat en decoule...

voici ma reponse :

je propose l'exercice suivant:
Inégalité 2:

Tres belle solution younes, bravo

Est ce que tu connaissais la technique avant ou tu viens juste de l apprendre ? J aimerais voir les autres poster des solutions aussi "puissantes" que la tienne! ca permettra d ameliorer le niveau du groupe

j'ai utilise dans ma solution :

abdelkrim-amine a écrit:

selon Holder LHS =< 9/(a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc)
donc l'inegalite a demontrer est a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc=<2(a+b+c)^2/3
on a : a^2+b^2+c^2>=ab+ac+bc ==> a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc=<2(a+b+c)^2/3
le resultat en decoule...

cette inégo et pas caushy :
c'une inégo de Holder non ????

En fait, Cauchy est un cas tres particulier de Hoder...
Non, tu as raison l inegalite que tu as ecrit est bien inegalite de Holder.

bel_jad5 a écrit:

Tres belle solution younes, bravo

Est ce que tu connaissais la technique avant ou tu viens juste de l apprendre ? J aimerais voir les autres poster des solutions aussi "puissantes" que la tienne! ca permettra d ameliorer le niveau du groupe

merci MR"bel_jad5" pour la technique je la connais deja !!!

Essayes de voir Karamata alors. Je vais ajouter d autres tecniques inchallah.

Je pense que c est plus interessant de travailler comme ca, que de resoudre 1000 exercices en utilisant CS!!! ca vous permettra de voir des nouvelles techniques au fur et a mesure...

Je vois que Younes vous a encore bloqué avec son inégalité! aller les gars, courage! (et bonne nuit )

Solution:
Avec Holder :

ainsi pour montrer l'inégalité , il suffit de montrer que :

la dernier inégalité est clairement juste , CQFD.

Joli c'est a toi de proposer

Problème 3
Prouver que pour tous réels a,b,c>0 tel que abc=1 , on a :

boubou math a écrit:

Solution:
Avec Holder :

ainsi pour montrer l'inégalité , il suffit de montrer que :

la dernier inégalité est clairement juste , CQFD.

Bravo Mr"boubou math" jolie reponse !!!

boubou math a écrit:

Problème 3
Prouver que pour tous réels a,b,c>0 tel que abc=1 , on a :

[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?posons~~t=a+b+c~~et~~B=ab+bc+ca~~,~~on~~~sait~~que~:~\fbox{3B\leq%20t^{2}}\\et~~comme~~abc=1~~alors~~a+b+c\geq%203\sqrt[3]{abc}=3~~donc~~\fbox{t\geq%203}.\\par~holder:\sum%20\frac{a}{\sqrt{7+b+c}}\times%20\sum%20\frac{a}{\sqrt{7+b+c}}\times%20\sum%20a(7+b+c)\geq%20(a+b+c)^{3}\\donc~~:\\%20(\sum%20\frac{a}{\sqrt{7+b+c}})^{2}\geq%20\frac{t^{3}}{7t+2B}=\frac{3t^{3}}{21t+2\times%203B}\geq%20\frac{3t^{3}}{21t+2t^{2}}=\frac{3t^{2}}{21+2t}\geq%201\\car~~\frac{3t^{2}}{21+2t}\geq%201\Leftrightarrow%203t^{2}-2t-21\geq%200\Leftrightarrow%20(t-3)(3t+7)\geq%200~~qui~~est~~vraie\\finnalement~~\sum%20\frac{a}{\sqrt{7+b+c}}\geq%201~~\blacksquare[/img]

donc c'est mon tour a poster !!!

boubou math a écrit:

Solution:
Avec Holder :

ainsi pour montrer l'inégalité , il suffit de montrer que :
plus;2(\sum&space;ab(a^2-b^2)^2)\geq 0" border="0" alt=""/>
la dernier inégalité est clairement juste , CQFD.

Mr "boubou math" j'ai verifié votre reponse et j'ai trouvé une ''erreure'' de signe : il ya un signe - au lieu de +
donc l'exercice n'est pas encore resolu !!!
sinon detailler votre reponse !!! (verifier d'abord votre reponse)
la faute se trouve dans la derniere ligne il faut ecrire-2(\sum&space;ab(a^2-b^2)^2)\geq 0 au lieu de +2(\sum&space;ab(a^2-b^2)^2)\geq 0

en attend une reponse !!!

younesmath2012 a écrit:

je propose l'exercice suivant:
Inégalité 2:

mohawala!!!