exercice *** ( partie entière )

Bonjour!
voici un autre exercice difficile de la partie entière:

montrer que E ( (2+racin(3))^n ) est toujours impair.


J'attends vos réponses si vous trouvez quelquechose.

n£..?????

n appartient à IN.

je pense que c'est facile par récurrence

bein en fait jai essayé , ce qu'il faut faire c'est que :
si on pose Un= E( (2+racin(3))^n) on doit demonntrer que Un et Un+1 sont de meme parité donc Un - Un+1 = 2k. ce qui est un peu difficile a demontrer .

[(2+√3)^n]
Pour: n=0 on obtient: 1 qui est un nombre impair.
Soit n un entier naturel, on suppose que: [(2+√3)^n] est impair et on montre que: [(2+√3)^(n+1)] est impair.
On a: [(2+√3)^n] = 2k+1 {k appartient à Z}
On pose: a=2+√3, donc: [a^n]=2k+1
D'ou: a^n=2k+1+r avec: 0<=r<1
Ce qui donne: a^(n+1)=a(2k+r+1)=(2+√3)(2k+r+1), il suffit de montrer que: 2k'+1<=(2+√3)(2k+r+1)<=2k'+2 ce qui est facile à prouver.

reccurence forte

pour tout n>=0, (2+√3)^n+(2-√3)^n est un entier pair noté 2a_n

==> [(2+√3)^n]=2a_n+[-(2-√3)^n]=2a_n-1

car 0<2-√3<1 ===> -1=<-(2-√3)^n<0 pour n>=0

pour tout n>=0, (2+√3)^n+(2-√3)^n est un entier pair noté 2a_n

pour le montrer on peut

soit utiliser la formule binomiale de Newton et regrouper les sommes de rang pair

soit par récurrence

soit remarquer que (2+√3) (2-√3)=1

merci abdelbaki , jai fait un meme methode, mais c juste ke je marrete au fait que le nombre est inferieur de 1 ( que jai po du remarqué) merci bcp pour votre solution.

de plus si je me rappelle c un oral de X : pour demontrer que qulque soit p et n dans N : ( n+racin(p) )^n + ( n -racin(p) )^n appartient à N.

c simple par reccurence forte !!!!!

euh , recurrence forte !! mais comment faire , jpense il suffit la develloper a laide du ofrmule du binome du newton! mais si possible tu peux poster ta methode .