Limite ln !!

Calculez (avex la méthode) :

intéréssant , voici une proposition :
On va utilisé le lemme suivant
quelque soit y > 0 on a :
0=<ln(y)=< y - 1
on pose y=ln(x+1)\ln(x)
on a
lim x tend vers infini : xln(y)=< lim x ten vers infini [x (y-1)]
et

d'ou le resultat la limite proposé est 0 .
2eme lemme (assez facile a prouver ) utilisé quelque soit a dans R : lim x ln(1+ a\x)= a (x ten vers infini) .
preuve on pose : x=1\t et h=at .
on a :

.

on utilise ln(1+u)~u en 0

xln(ln(x+1)/ln(x))
=xln(1+ln(1+1/x)/ln(x))
~xln(1+1/x)/ln(x) car ln(1+1/x)/ln(x) tend vers 0 qd x tend vers +oo
~1/ln(x)

voici ma solution en se contentant sur les regles du cour
on a

posant : avec

d'ou

et on a:

et puisque
donc :