par définition n>m>l>1
l'égalité <==> ( m(m+1)/2-l(l+1)/2)²=(n(n+1)/2-m(m+1)/2).l(l+1)/2
on pose a=n(n+1)/2, b=m(m+1)/2 et c=l(l+1)/2 ==> (b-c)²=(a-b)c (*)
si (a,b,c) solution de (*) alors pour tout k dans N*, (ka,kb,kc) aussi. on peut alors supposer pgdc(a,b,c)=1. Soit d=pgcd(a-b,c) ==> a-b=du et c=dv avec pgdc(u,v)=1
(*) <==> (b-c)²=(a-b)c=d²uv ==> u et v sont des carrés ==> d divise b-c ==> d divise b
==> d divise a, b et c ==> d=1
Donc, a-b et c sont des carrés. Soit a-b=u² et c=v² avec pgdc(u,v)=1
(*) <==> b-c=uv . Donc a= u²+v²+uv, b=v²+uv et c=v² avec pgdc(u,v)=1
l'énoncé demande un triplet (n,m,l):
l(l+1)=2v² <==> (2l+1)²-8v²=1
alors le couple (2l+1,2v) est solution de l'équation de Pell Fermat : x²-2y²=1
dont la solution minimale est (3,2) qui donne l=1 exclu
une autre solution est donnée par:
2(2l+1)=(3+2V2)²+(3-2V2)² ==> 2l+1=17 ==> l=8 et v=6
m(m+1)=2b=2v²+2uv=12(6+u) ==> (2m+1)²= 48(6+u)+1=48u+289
pour u=5 ==> 2m+1=23 ==> m=11
n(n+1)=2a=2(25+36+30)=182 <==> (2n+1)²=4*182+1= 729 ==> n=13
(13,11,8 ) solution
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