Probleme mai 2013

Soit d un entier >0
Montrer qu'il existe un réel k>d tel que


pour tout polynôme P de degré au plus d

soit P un polynome de degre au plus d on pose Q(x)=P(cos(x)) H(x)=P(sin(x)) Q et H sont des polynome trigonometrique de degre au plus d |Q'(x)|=|sin(x)P'(x)| et |H'(x)|=|cos(x)P'(x)| d'apres l'inegalite de Bernstein ||Q'||=<d||Q|| et ||H'||=<d||H||
||f||= norme infini de f
||H||=||Q||=sup{|P(t)|: t dans [0,1]}=A
donc pour tout x dans R (sin(x)P'(x))^2<(dA)^2 et (cos(x)P'(x))^2=<(dA)^2 donc P'(x)^2=<2d^2A^2
donc sup{|P'(t)|: t dans [0,1]}=< racine(2)d sup{|P(t)|: t dans [0,1]}
sauf erreur j'attend votre confirmation et merci pour cet exo.

Soit E=l'espaces des polynômes P de degré au plus d muni de la norme |P|=sup{|P(t)|: t dans [0,1]}
(E,||) est un espace de Banach de dimension finie alors l'endomorphisme de E ; P-->P' est continue d'où le résultat