Probleme avril 2013

Soit E=C([0,1]) l'espace des fonctions numériques continues sur [0,1] muni de la norme
||x||=sup{|x(t)| ; t dans [0,1]}

1) Soit F un sous espace fermé tel que toute f dans F est de classe C^1 sur [0,1]. Montrer que F est de dimension finie.

2) Soit G un sous espace fermé tel que toute f dans G est de classe C^1 sur [0,1[. Donner un exemple de tel espace G de dimension infinie.