Probleme Avril 2015

Soit D={(i,j) dans Z² : i,j dans [-2015, 2015]}
Soit f : D---> R définie par:
f(i,j)= (1/4)[f(i + 1,j) + f(i − 1,j) + f(i,j + 1) + f(i,j − 1)] si i,j dans ]-2015, 2015[
f(i,j) = 0 si |i|= 2015 ou |j| = 2015.
Montrer que f(i,j) = 0 pour tout (i,j) dans D

$Probleme Avril 2015 Gif.latex?soit%20%5C%20l%3Dmax_%7B%28i%2Cj%29%5Cin%20D%5E2%7D%20%7Cf%28i%2Cj%29%7C%5C%20et%5C%20supposons%5C%20que%20%5C%20l%5Cneq%200.%20%5C%5C%20soit%5C%20%7Cf%28a%2Cb%29%7C%3Dl%5C%20avec%5C%20%7Ca%7C%2C%7Cb%7C%5Cneq%202015.%20%5C%5C%20comme%5C%20%7Cf%28a%2Cb%29%7C%5Cleq%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%28%7Cf%28a+1%2Cb%29%7C+%7Cf%28a%2Cb+1%29%7C+%7Cf%28a-1%2Cb%29%7C+%7Cf%28a%2Cb-1%29%7C%29%20%5C%5C%20alors%3A%20%7Cf%28a+1%2Cb%29%7C%3D%7Cf%28a%2Cb+1%29%7C%3D%7Cf%28a-1%2Cb%29%7C%3D%7Cf%28a%2Cb-1%29%7C%3Dl$
A partir de la
$Probleme Avril 2015 Gif.latex?on%5C%20commence%5C%20alors%5C%20par%5C%20%7Cf%28a%2Cb%29%7C%3Dl%5CRightarrow%20%7Cf%28a+1%2Cb%29%7C%3Dl%20%5CRightarrow%20%7Cf%28a+2%2Cb%29%7C%3Dl%20%5C%5C%20%5CRightarrow%20%7Cf%28a+3%2Cb%29%7C%3Dl%20%5CRightarrow%20..$

$Probleme Avril 2015 Gif$

La question peut etre reformuler comme suit:
on dispose d'un echequier nxn ou chaque case contient un réel. de telle facon que chaque case est la moyenne arithmétique des 4 cases entourantes.
Montrer que toutes les cases contiennent le meme réel ...

legend-crush a écrit:: $Probleme Avril 2015 Gif.latex?soit%20%5C%20l%3Dmax_%7B%28i%2Cj%29%5Cin%20D%5E2%7D%20%7Cf%28i%2Cj%29%7C%5C%20et%5C%20supposons%5C%20que%20%5C%20l%5Cneq%200.%20%5C%5C%20soit%5C%20%7Cf%28a%2Cb%29%7C%3Dl%5C%20avec%5C%20%7Ca%7C%2C%7Cb%7C%5Cneq%202015.%20%5C%5C%20comme%5C%20%7Cf%28a%2Cb%29%7C%5Cleq%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%28%7Cf%28a+1%2Cb%29%7C+%7Cf%28a%2Cb+1%29%7C+%7Cf%28a-1%2Cb%29%7C+%7Cf%28a%2Cb-1%29%7C%29%20%5C%5C%20alors%3A%20%7Cf%28a+1%2Cb%29%7C%3D%7Cf%28a%2Cb+1%29%7C%3D%7Cf%28a-1%2Cb%29%7C%3D%7Cf%28a%2Cb-1%29%7C%3Dl$
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$Probleme Avril 2015 Gif$

La question peut etre reformuler comme suit:
on dispose d'un echequier nxn ou chaque case contient un réel. de telle facon que chaque case est la moyenne arithmétique des cases entourantes.
Montrer que toutes les cases contiennent le meme réel ...

Jolie réponse, La reformulation aussi sauf les cases au bord ne sont pas entourées par 4 cases mais par 5 ou 3 pour les coins et une case à l'intérieur est entourée par 8 cases ! Il suffit d'effacer le 4

Jai mal formulé, les cases dau milieu il sagit des 4 cases ( le haut , bas, droite, gauche) , le coin il ne sagit que 2 cases , et celle au coté 3 ... mais bon on peut choisir des situations différentes le raisonnement est le meme.
Ya til une solution alternative?

Expert grade1 Nombre de messages : 428 Age : 28 Date d'inscription : 22/01/2014

Bonjour;

durant quatre jours, je n'ai cessé d'essayer de résoudre ce problème: j'ai tout tenté mais en vain. J'ai essayé de passer par les suites stationnaires à deux indices, les matrices stochastiques, divers sommations de colonnes et de lignes de la matrice carré (4031,4031) formée par les différents f(i,j), ainsi que divers relations entre ces éléments, mais tout ceci ne m'a mené nul part.

L'astuce que vous avez utilisé ne m'est pas venu à l'esprit: j'aurai passé un an sans jamais le trouver. Bravo M. Legend_Crush.

Voici ma version de la solution du problème et qui est à 99,99% tiré de votre solution.

Probleme Avril 2015 Probly12

J'espère que j'ai vu juste.

Amicalement.

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