Problème mars 2015

Montrer que pour tout x dans IR ,

x^4(1-x)+x(1-x)^4 =< 1/12

Bonjour,
j'espère que la solution proposée ci dessous au problème de mars 2015 ne soit pas émaillée de dérapages logiques.
Merci pour toutes remarques qui serviront à l'embellir.





                                                   Amicalement.
                                                      AymaneMaysae.

C'est parfait !

Merci,
c'est un compliment venant d'un grand professeur de Mathématiques.
J'en suis très fier.

BSR au Forum .
BSR aymanemaysae .

En Maths , il y a Toujours des Solutions Astucieuses ...
En l' occurence ICI , on peut remarquer  que l' application
g : x ----------------------> g(x)=x^4(1-x)+x(1-x)^4 de IR dans IR

Vérifie g(x)=g(1-x) pour tout x dans IR
Autrement dit le graphe de g est symétrique par rapport à la Droite x=1/2

On pose alors u=x-(1/2)
Avec cette nouvelle variable u  , on obtient
g(x)=h(u)=(u+(1/2))^4.((1/2)-u) + (u+(1/2)).((1/2)-u)^4
=(u+(1/2)).((1/2)-u).{ (u+(1/2))^3 + ((1/2)-u)^3 }

Tu utilises l' identité A^3 + B^3=(A+B)^3 - 3.A.B.(A+B)
avec A=u+(1/2) et B=(1/2) -u
Pour obtenir :
g(x)=((1/4)-u^2).{1-3((1/4)-u^2)}
=(1/16).(1-4.u^2).(1+12.u^2)  tous Calculs Faits !!

Enfin , si on pose t=u^2 , alors :
g(x)=h(u)= f(t)=(1/16).(1-4.t).(1+12.t)

Au Final :
{ g(x)<=(1/12) , pour tout x dans IR } <====> {f(t)<=(1/12) pour tout t dans IR }

L' étude sommaire des Variations de f se fait sans problèmes et permet de conclure ....

Amicalement .  LHASSANE